다운로드
작성자: admin 작성일시: 2016-05-23 23:24:32 조회수: 3097 다운로드: 298
카테고리: 기초 수학 태그목록:

감마 분포

감마 분포(Gamma distribution)도 베타 분포(Beta distribution)처럼 모수의 베이지안 추정에 사용된다. 다만 베타 분포가 0부터 1사이의 값을 가지는 모수를 베이지안 방법으로 추정하는데 사용되는 것과 달리 감마 분포는 0부터 무한대의 값을 가지는 양수 값을 추정하는데 사용된다.

감마 분포의 확률 밀도 함수는 a와 b라는 두 개의 모수(parameter)를 가지며 수학적으로 다음과 같이 정의된다.

$$ \text{Gam}(x;a,b) = \frac{1}{\Gamma(a)} b^a x^{a-1}e^{-bx} $$

감마 분포의 확률 밀도 함수는 모수 $a$, $b$의 값에 따라 다음과 같은 형상을 가진다.

SciPy의 stats 서브패키지에서 제공하는 gamma 클래스는 모수 $b=1$로 고정되어 $a$ 값만 설정할 수 있다. $b$를 바꾸려면 $x$값 스케일과 계수를 수동으로 설정하여야 한다.

In [1]:
xx = np.linspace(0, 10, 100)
plt.subplot(221)
plt.plot(xx, sp.stats.gamma(9).pdf(xx))
plt.ylim(0, 0.4)
plt.title("(A) a=9, b=1, mode=8")
plt.subplot(222)
plt.plot(xx, sp.stats.gamma(6).pdf(xx))
plt.ylim(0, 0.4)
plt.title("(B) a=6, b=1, mode=5")
plt.subplot(223)
plt.plot(xx, sp.stats.gamma(3).pdf(xx))
plt.ylim(0, 0.4)
plt.title("(C) a=3, b=1, mode=2")
plt.subplot(224)
plt.plot(xx, sp.stats.gamma(2).pdf(xx))
plt.ylim(0, 0.4)
plt.title("(D) a=2, b=1, mode=1")
plt.tight_layout()
plt.show()

위 그림이 베이지안 추정 결과라면 각각은 모수에 대해 다음과 같이 추정한 것과 같다.

  • (A): 모수값이 8일 가능성이 가장 크다. (정확도 아주 낮음)
  • (B): 모수값이 5일 가능성이 가장 크다. (정확도 낮음)
  • (C): 모수값이 2일 가능성이 가장 크다. (정확도 높음)
  • (D): 모수값이 1일 가능성이 가장 크다. (정확도 아주 높음)

감마 분포의 기댓값, 최빈값, 분산은 각각 다음과 같다.

  • 기댓값 $$ \text{E}[X] = \dfrac{a}{b}$$

  • 최빈값 $$ \dfrac{a-1}{b}$$

  • 분산 $$\text{Var}[X] = \dfrac{a}{b^2}$$

질문/덧글

아래 감마 분포의 내용인데 베타 분포라고 적혀 있습니다. lsjh*** 2016년 7월 8일 1:47 오후

가장 밑에있는 기댓값, 최빈값, 분산 부분이랑
"베타 분포의 확률 밀도 함수는 모수 a , b 의 값에 따라 다음과 같은 형상을 가진다." 이 부분이요

답변: 아래 감마 분포의 내용인데 베타 분포라고 적혀 있습니다. 관리자 2016년 7월 10일 6:58 오후

수정하였습니다. 지적 감사드립니다.

모수, 모수값, mode, 최빈값에 대한 질문입니다. kimk*** 2016년 7월 23일 1:30 오후

여기서 a,b는 모수(parameter)이고
mode는 모수값이라고 했는데

1. 모수와 모수값은 다른건가요? 모수가 가진 값을 모수값이라고 생각했습니다.

2. 여기서 mode는 최빈값이자 대표값이 맞는 것이죠?

답변: 모수, 모수값, mode, 최빈값에 대한 질문입니다. 관리자 2016년 7월 24일 10:48 오전

1. 모수와 모수값은 다른건가요? 모수가 가진 값을 모수값이라고 생각했습니다.
=> 모수가 가진 값을 모수값이 맞습니다만 이 글에서는 모수와 모수값을 혼용하여 사용하고 있습니다.
2. 여기서 mode는 최빈값이자 대표값이 맞는 것이죠?
=> 네.

모수값 추정 moon*** 2016년 10월 15일 2:13 오후

그래프의 결과를 보니 모수값이 a-b 인 양상을 보이는 듯 한데 모수값이 무조건 a-b가 되는 것이 맞나요?

답변: 모수값 추정 관리자 2016년 10월 16일 10:44 오전

본문에서 추정된 모수 값이란 추정된 모수 분포의 최빈값을 말하고 있습니다. 감마 분포의 최빈값은 (a-1)/b 입니다.