작성자: admin 작성일시: 2016-08-11 15:47:39 조회수: 329 다운로드: 24
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확률 과정과 Ito 적분

확률 과정

특정한 확률적 표본에 대해 숫자 하나가 대응(mapping)되면 확률 변수(random variable)라고 하며 시간에 대한 함수 하나가 대응되면 확률 과정(random process, stochastic process)이라고 한다.

확률 과정 모형

주식의 가격, 이자율 등의 움직임을 통계적으로 표현한 것을 확률 과정 모형이라고 하며 널리 사용되는 대표적인 확률 과정 모형으로는 다음과 같은 것들이 있다.

  • 기하 브라운 운동 모형

  • 제곱근 확산 모형

  • 확률적 변동성 모형

  • 점프 확산 모형

확률 과정 모형은 확률 미분 방정식(stochastic differential equation)으로 표현된다.

예를 들어 기하 브라운 운동 모형의 확률 미분 방정식은 다음과 같다.

$$ dS(t) = \alpha(t) S(t)\;dt + \sigma(t) S(t)\; dW(t) $$

이 방정식은 사실 다음과 같은 방정식을 좀 더 간결한 형태로 쓴 것에 불과하다.

$$ S(t) - S(0) = \int_{-\infty}^t \alpha(t) S(u)\;du + \int_{-\infty}^t\sigma(t) S(t)\; dW(t) $$

이 방정식에서 $dW(t)$의 $W$ 는 브라운 운동(Brownian Motion)을 뜻한다.

위 식에서 $dW$가 포함된 적분항은 일반적인 리만 적분(Riemann integral)로는 정의되지 않다. 이 항은 Ito 적분이라고 한다.

Ito 적분

Ito 적분은 브라운 운동에 대해서 정의되는 적분이며 수학적인 정의는 다음과 같다.

$$ \int_{-\infty}^T f(t,W(t))\; dW(t) = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i, W(t_{i})) \big( W(t_{i+1}) - W(t_{i})\big) $$

이 식에서 $ 0 = t_0 \leq t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_n = T $ 이다.

금융 공학에서 Ito 적분은 두 가지 경우에 사용된다.

  1. $f(t,W(t))$가 변동성 $\sigma(t,W(t))$이고 Ito 적분 $\int \sigma(t,W(t))\;dW(t)$가 주가를 나타내는 경우
  2. $f(t,W(t))$가 주식 포지션 $\Delta(t,W(t))$이고 Ito 적분 $\int \Delta(t,W(t))\;dW(t)$가 주식의 누적 수익을 나타내는 경우

Ito 적분과 리만 적분의 차이점은 브라운 운동이 미분 불가능하다는 점에서 발생한다. 만약 브라운 운동이 미분 가능하다면 Ito 적분은 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$ \int_{-\infty}^T f(t)\; dW(t) = \int_{-\infty}^T f(t) \dfrac{dW(t)}{dt} \; dt= \int_{-\infty}^T g(t) \; dt $$

Ito 과정

Ito 적분에 의해서 다음과 같이 정의된 확률 과정을 Ito 과정(process)이라고 한다.

$$ dX(t) = \Theta(t)\;dt + \Delta(t)\; dW(t) $$

이 방정식은 다음과 같은 방정식을 좀 더 간결한 형태로 쓴 것이다.

$$ X(t) - X(0) = \int_{-\infty}^t \Theta(u)\;du + \int_{-\infty}^t\Delta(u)\; dW(t) $$

Ito-Doeblin 공식

브라운 운동 $W(t)$나 Ito 과정 $X(t)$가 포함된 함수를 적분하기 위해서는 다음과 같은 Ito-Doeblin 공식을 사용하는 것이 편리하다.

  • 브라운 운동에 대한 Ito-Doeblin 공식
$$ df(t,W(t)) = \dfrac{\partial}{\partial t}f(t, W(t))\;dt + \dfrac{\partial}{\partial x} f(t, W(t))\;dW(t) + \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} f(t, W(t)) \;dt $$
  • Ito 과정에 대한 Ito-Doeblin 공식
$$ \begin{eqnarray} df(t,X(t)) &=& \dfrac{\partial}{\partial t}f(t, X(t))\;dt + \dfrac{\partial}{\partial x} f(t, X(t))\;dX(t) + \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} f(t, X(t)) dX^2 \\ &=& \dfrac{\partial}{\partial t}f(t, X(t))\;dt + \dfrac{\partial}{\partial x} f(t, X(t))\Theta(t)\;dt + \dfrac{\partial}{\partial x} f(t, X(t))\Delta(t)\;dW(t) + \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} f(t, X(t)) )\Delta^2(t)\;dt \\ &=& \Big( \dfrac{\partial}{\partial t}f(t, X(t)) + \dfrac{\partial}{\partial x} f(t, X(t))\Theta(t) + \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} f(t, X(t)) \Delta^2(t) \Big) \;dt + \dfrac{\partial}{\partial x} f(t, X(t))\Delta(t)\;dW(t) \end{eqnarray} $$

Ito-Doeblin 공식 사용 예

Ito-Doeblin 공식을 사용하면 다음 적분도 풀 수 있다.

$$ \int_{-\infty}^T W(t) \; dW(t) $$

$f(x) = \dfrac{1}{2}x^2$이라고 가정하면,

$$ f(W(t)) = \dfrac{1}{2}W(t)^2 $$$$ \dfrac{\partial}{\partial t}f(t, W(t)) = 0 $$$$ \dfrac{\partial}{\partial x} f(t, W(t)) = W(t) $$$$ \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} f(t, W(t)) = 1 $$

이를 브라운 운동에 대한 Ito-Doeblin 공식에 대입하면

$$ df(t,W(t)) = W(t) \;dW(t) + \dfrac{1}{2} \;dt $$$$ f(T,W(T)) - f(0, W(0)) = \int_{-\infty}^T W(t) \; dW(t) + \int_{-\infty}^T \dfrac{1}{2} \;dt $$$$ W^2(T) - 0 = \int_{-\infty}^T W(t) \; dW(t) + \dfrac{1}{2} T $$$$ \int_{-\infty}^T W(t) \; dW(t) =W^2(T) - \dfrac{1}{2} T $$

기하 브라운 운동 모형

기하 브라운 운동(Geometric Brownian Motion) 모형은 다음과 같은 확률 미분 방정식을 따른다.

$$ dS(t) = \alpha(t) S(t)\;dt + \sigma(t) S(t)\; dW(t) $$
  • 상승률(drift) $\alpha(t)$와 변동성 $\sigma(t)$는 확률론적이 아니라 결정론적으로 미리 정해저 있다.
  • 주가 S(t)와 상승률 $\alpha(t)$의 곱에 따라 상승한다. 즉 현재 주가의 상승률 비율로 증가한다.
  • 주가 S(t)와 변동성 $\sigma(t)$의 곱에 따라 변동한다.

제곱근 확산 모형

제곱근 확산 모형(square-root diffusion model)은 평균 회귀 모형(mean-reversion model)의 일종이다. 확률 과정의 값이 장기 평균 $\theta$에서 멀어지면 더 큰 상승(하강)률로 장기 평균 쪽으로 움직인다.

$$ dx(t) = \kappa(\theta - x(t))\;dt + \sigma \sqrt{x(t)}\;dW(t) $$

위 식에서

  • $\kappa$ : 평균 회귀 계수 (속도)
  • $\theta$ : 장기 평균
  • $\sigma$ : 변동성

확률적 변동성 모형

변동성도 관측되지는 않지만 주가와 같은 확률 과정이라고 가정하고 두 개의 서로 영향을 미치는 확률 과정으로 주가의 움직임을 정의한 것이 확률적 변동성 모형(stochastic volatility model)이다. 확률적 변동성 모형 중 가장 널리 쓰이는 것이 다음과 같은 헤스톤 모형(Heston model)이다.

$$ \begin{eqnarray} dS(t) &=& \alpha S(t)\;dt + \sigma(t) S(t)\; dW_1(t) \\ d\nu(t) &=& \kappa(\theta - \nu(t))\;dt + \sigma \sqrt{\nu(t)}\;dW_2(t) \\ dW_1(t)dW_2(t) &=& \rho \end{eqnarray} $$

이 식에서 $\rho$는 두 개의 브라운 운동의 순간상관계수(instantaneous correlation coefficient)이다.

점프 확산 모형

점프 확산 모형은 자산가격이 연속적으로 움직이는 것이 아니라 순간적으로 점프하는 특징을 포함하는 주가 모형이다.

점프 시각이 포아송 분포(Poisson distribution)에 의해 결정되는 확률 과정을 포아송 과정(Poisson process) $N(t)$이라고 한다.

점프 크기 $J(t)$는 로그 노말 분포(log normal distribution)를 가진다.

$$ dS(t) = (\alpha - \alpha_J) S(t)\;dt + \sigma(t) S(t)\; dW_1(t) + J(t)S(t)dN(t)\\ $$

포트폴리오 가치의 변화

주식 한 종목과 무위험 채권을 포함하는 포트폴리오의 가치 $X(t)$도 Ito 적분으로 표현할 수 있다. 즉 이 포트폴리오의 가치 $X(t)$도 Ito 과정이 된다.

시간 $t$에서 주식의 주가를 $S(t)$, 보유 주식수(position)를 $\Delta(t)$ 라고 하고 무위험 이자율을 $r(t)$ 라고 하면 이 포트폴리오의 가치 변화 $dX$는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \begin{eqnarray} dX(t) &=& \Delta(t) dS(t) + r(t)\big(X(t) - \Delta(t) dS(t)\big)dt \end{eqnarray} $$

만약 주가가 위에서 말한 기하 브라운 운동 모형을 따른다면 포트폴리오 가치 변화는 다음과 같아진다.

$$ \begin{eqnarray} dX(t) &=& \Delta(t) dS(t) + r(t)\big(X(t) - \Delta(t) dS(t)\big)dt \\ &=& \Delta(t) \big(\alpha(t) S(t)\;dt + \sigma S(t)\; dW(t) \big) + r(t)\big(X(t) - \Delta(t) dS(t)\big)dt \\ &=& \big(r(t)X(t) + \Delta(t) ( \alpha(t) - r(t)) S(t)\big)\;dt + \Delta(t)\sigma S(t)\; dW(t) \end{eqnarray} $$

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