작성자: admin 작성일시: 2016-05-20 19:24:13 조회수: 495 다운로드: 79
카테고리: 시계열 분석 태그목록:

상태 공간 모형과 ARIMA 모형

상태 공간 모형중에서 동적 선형 모형(DLM: Dynamics Linear Model)과 ARIMA 모형은 다음과 같은 관계가 있다.

  • 모든 ARIMA 모형은 동일한 출력(measurement)을 가지는 동적 선형 모형으로 표현할 수 있다. 가능한 상태의 조합 방법은 무한하다.
  • 모든 동적 선형 모형의 출력은 ARIMA 모형으로 표현할 수 있다.

상태 공간 모형의 ARIMA표현

상태 공간 모형을 ARIMA 형태로 변환하기 위해서는 다음과 같이 상태 변수를 없애야 한다.

$$ X_{t} = \Phi_t X_{t-1} + w_t = \Phi_t L X_{t} + w_t $$$$ (I- \Phi_t L) X_{t} = w_t $$$$ X_{t} = (I- \Phi_t L)^{-1} w_t $$$$ Y_{t} = A_t (I- \Phi_t L)^{-1} w_t $$

이 식을 풀면 $Y_t$ 와 $w_t$사이의 관계를 ARIMA 형태로 표현할 수 있다.

ARIMA 모형의 상태 공간 모형 표현

앞서 말한 바과 같이 모든 ARIMA 모형은 동일한 출력을 가지는 동적 선형 모형으로 표현할 수 있다. 그러나 출력이 동일하다고 해도 상태 변수를 정하는 방법은 무한한 경우의 방법이 있기 때문에 보통 표준 형식(canonical form)을 정하여 이를 기준으로 한다.

우선 ARMA(p,q)모형을 동적 선형 모형으로 변환하면,

$$ Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \cdots + \phi_p Y{t-p} + e_t - \theta_1 e_{t-1} - \theta_2 e_{t-2} - \cdots - \theta_q e_{t-q} $$

이 식은 $r = \max(p, q+1)$ 이라고 하면 다음과 같이 바꿀 수 있다.

$$ Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \cdots + \phi_r Y{t-r} + e_t - \theta_1 e_{t-1} - \theta_2 e_{t-2} - \cdots - \theta_{r-1} e_{t-(r-1)} $$

다음과 같은 동적 선형 모형이 된다.

$$ \begin{bmatrix} x_{t,1} \\ x_{t,2} \\ \vdots \\ x_{t,r-1} \\ x_{t,r} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \phi_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \phi_2 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi_{r-1} & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ \phi_r & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{t-1,1} \\ x_{t-1,2} \\ \vdots \\ x_{t-1,r-1} \\ x_{t-1,r} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & \theta_1 & \cdots & \theta_{r-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_{1} \\ e_{2} \\ \vdots \\ e_{r-1} \\ e_{r} \\ \end{bmatrix} $$$$ Y_t = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{t,1} \\ x_{t,2} \\ \vdots \\ x_{t,r-1} \\ x_{t,r} \\ \end{bmatrix} $$

이 식이 위의 ARMA(p,q)식과 동일한지 확인하기 위해 상태 전이식을 풀면

$$ x_{1,t} = \phi_1 x_{1,t-1} + x_{2,t-1} + e_t $$$$ x_{2,t} = \phi_2 x_{1,t-1} + x_{3,t-1} + \theta_1 e_t $$$$ x_{3,t} = \phi_3 x_{1,t-1} + x_{4,t-1} + \theta_2 e_t $$$$ \vdots $$$$ x_{r-1,t} = \phi_{r-1} x_{1,t-1} + x_{r,t-1} + \theta_{r-2} e_t $$$$ x_{r,t} = \phi_{r} x_{1,t-1} + \theta_{r-1} e_t $$

이 식을 차례대로 대입하면 다음과 같다.

$$ x_{1,t} = \phi_1 x_{1,t-1} + \phi_2 x_{1,t-2} + \cdots + \phi_r x_{1,t-r} + e_t + \theta_1 e_t + \cdots + \theta_{r-1} e_{t-(r-1)} $$

$ y_t = x_{1,t} $ 에서 두 모형이 동일하다는 것을 알 수 있다.

ARIMA(p,d,q) 모형은 다음과 같이 동적 선형 모형으로 바꿀 수 있다.

우선 $\Delta^d Y_t$가 ARMA(p,q) 모형이므로 앞의 방법을 사용하여 동적 선형 모형 방정식을 구한다.

$$ \Delta^{1} Y_{t} = Y_t - Y_{t-1} $$

$$ \Delta^{2} Y_{t} = \Delta^{1} Y_{t}- \Delta^{1} Y_{t-1} $$

$$ \vdots $$$$ \Delta^{d} Y_{t} = \Delta^{d-1} Y_{t}- \Delta^{d-1} Y_{t-1} $$

$\Delta^{d} Y_{t}$ 가 ARMA 모형이므로 이를 합치면 다음과 같은 동적 선형 모형이 된다.

$$ \begin{bmatrix} Y_{t-1} \\ \Delta Y_{t-1} \\ \vdots \\ \Delta^{d-1} Y_{t-1} \\ \Delta^{d} Y_{t} \\ x_{t,2} \\ \vdots \\ x_{t,r-1} \\ x_{t,r} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 0 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 0 & 0 &\cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & 0 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \phi_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \phi_2 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \phi_{r-1} & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \phi_r & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y_{t-2} \\ \Delta Y_{t-2} \\ \vdots \\ \Delta^{d-1} Y_{t-2} \\ \Delta^{d} Y_{t-1} \\ x_{t-1,2} \\ \vdots \\ x_{t-1,r-1} \\ x_{t-1,r} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 & \theta_1 & \cdots & \theta_{r-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ e_{1} \\ e_{2} \\ \vdots \\ e_{r-1} \\ e_{r} \\ \end{bmatrix} $$$$ Y_t = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y_{t} \\ \Delta Y_{t-1} \\ \vdots \\ \Delta^{d-1} Y_{t-1} \\ \Delta^{d} Y_{t-1} \\ x_{t,2} \\ \vdots \\ x_{t,r-1} \\ x_{t,r} \\ \end{bmatrix} $$

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