작성자: admin 작성일시: 2016-04-20 19:30:18 조회수: 1171 다운로드: 134
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백색 잡음

시계열 분석을 구성하는 여러가지 기본 모형 중 가장 중요한 것이 바로 백색 잡음(white noise)이다.

백색 잡음 $e$은 확률 과정을 구성하는 모든 개별 확률 변수 $e_t$들이 서로 독립이고(independent) 동일한 확률 분포를 따르는(identically distributed) 확률 과정을 말한다. 이러한 가정을 약자로 $i.i.d$ 가정이라고 한다. 백색 잡음의 기반이 되는 확률 변수의 분포가 반드시 정규 분포일 필요는 없다.

$$ e_t \sim i.i.d \;\; \text{ for all } t$$

백색 잡음은 다음과 같은 특성을 만족한다.

  • 정상 과정(stictly stationary process)이다.

  • 시차(lag)가 0일 경우, 자기공분산은 확률 분포의 분산이 되고 시차가 0이 아닌 경우, 자기공분산은 0이다. $$ \gamma_l = \begin{cases} \text{Var}[e_t] & \;\; \text{ for } l = 0 \\ 0 & \;\; \text{ for } l \neq 0 \end{cases} $$

  • 시차(lag)가 0일 경우, 자기상관계수는 1이 되고 시차가 0이 아닌 경우, 자기상관계수는 0이다. $$ \rho_l = \begin{cases} 1 & \;\; \text{ for } l = 0 \\ 0 & \;\; \text{ for } l \neq 0 \end{cases} $$

가우시안 백색 잡음

확률 분포가 표준 가우시안 정규 분포인 백색 잡음을 가우시안 백색 잡음(Gaussina white noise)라고 한다.

$$ e_t \sim i.i.d \; N(\mu, \sigma^2) \;\; \text{ for all } t$$

가우시안 백색 잡음은 다음과 같이 시뮬레이션 할 수 있다.

In:
e = sp.stats.norm.rvs(size=300)
plt.plot(e);

비-가우시안 백색 잡음

앞서 밝혔지만 백색 잡음을 이루는 기반 확률 분포가 반드시 정규 분포일 필요는 없다. 예를 들어 가장 단순한 경우로서 $\{1, -1\}$로 구성되고 1이 나올 확률 $p=0.5$인 베르누이 확률 과정도 백색 잡음이 된다.

In:
e = sp.stats.bernoulli.rvs(0.5, size=100) * 2 - 1
plt.step(np.arange(len(e)), e)
plt.ylim(-1.1, 1.1)
Out:
(-1.1, 1.1)

백색 잡음의 스펙트럼

백색 잡음에 대한 파워 스펙트럼을 구하면 이론적으로는 평평한(flat) 형태가 된다. 시계열의 파워 스펙트럼을 평평하게 만드는 필터를 적용하는 것을 백색화(whitening)라고도 한다.

In:
import scipy.signal
sp.random.seed(0)
N = 2**15
e = sp.stats.bernoulli.rvs(0.5, size=N) * 2 - 1

f1, P1 = sp.signal.welch(e)
plt.semilogy(f1, P1);

# 비교를 위한 단일 주파수 신호 (mono tone)
fs = 10e3; N = 1e5; amp = 2*np.sqrt(2); freq = 1000; noise_power = 0.001 * fs / 2
time = np.arange(N) / fs
s = amp*np.sin(2*np.pi*freq*time)

f2, P2 = sp.signal.welch(s)
plt.semilogy(f2, P2);
plt.xlim([0.01, 0.49])
plt.ylim([0.5e-1, 1e3])
Out:
(0.05, 1000.0)

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