작성자: admin 작성일시: 2016-07-21 20:02:41 조회수: 590 다운로드: 87
카테고리: 금융 공학 태그목록:

파생상품 가격결정 방법론 요약

확률 측도 변경 (Probability Measure Change)

확률 변수나 확률 과정은 특정한 값이 나올 수 있는 확률 측도(probability measure)에 따라 값이나 함수의 분포가 달라진다. 즉, 확률 측도를 바꾸면 주가의 움직임도 달라질 수 있다는 뜻이다.

Radon-Nikodym Derivative

확률 분포가 원래의 확률 측도 $P(\omega)$에서 다른 확률 측도 $Q(\omega)$로 바뀌는 경우에, 두 측도의 차이를 비율로 나타낸 것을 Radon-Nikodym Derivative 라고 한다.

$$ Z(\omega) = \dfrac{Q(\omega)}{P(\omega)} $$

반대로 이야기하면 Radon-Nikodym Derivative 가 정해져 있으면 새로운 확률 측도를 정했다는 말과 같다.

Girsanov 정리

Girsanov 정리에 따르면 drift $\theta(t)$를 가지는 브라운 운동을 drift가 없는 브라운 운동을 바꾸는 새로운 확률 측도 즉, Radon-Nikodym Derivative 는 다음과 같이 항상 존재한다.

$$ Z(t) = \exp \left\{ -\int_0^t \theta(u)\;dW(t) - \dfrac{1}{2}\int_0^t \theta^2(u)\;du \right\} $$

를 적용하면

$$ \tilde{W}(t) = W(t) + \int_0^t \theta(u)\;du $$

위험 중립 확률 측도 (Risk-Neutral Measure)

고정 단기 무위험 이자율이 $r$ 이라고 가정하자. 자산 가격의 움직임이 다음과 같게 만드는 확률 측도를 위험 중립 확률 측도 (Risk-Neutral Measure) $Q$ 라고 한다.

$$ d(e^{-rt}S(t)) = \Delta(t) dW(t) $$

위험 중립 확률 측도하에서의 주가 모형

예를 들어 현실의 주식 가격은 다음과 같은 확률 미분 방정식을 따를 수 있다.

$$ dS_t = \mu_t S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t $$

그러나 Girsanov Theorem을 사용하여 이를 위험 중립 확률 측도로 변환하면 다음과 같아진다. 즉 drift 항이 무위험 이자율로 바뀐다.

$$ dS_t = r_t S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t $$

기대값과 확률 측도

기대값(expectation)은 확률 변수 $S$ 를 확률 측도(probability measure)로 $P$로 가중 평균한 값과 같다

$$ \text{E}^{P} \left[ S \right] = \sum_{\omega} P(\omega) \cdot S(\omega) $$

확률 과정에 대한 확률 측도가 달라지더라도 다음과 같은 Radon-Nikodym Derivative 값 $\frac{Q(\omega)}{P(\omega)}$을 알고 있다면 기대값을 구할 수 있다.

$$ \text{E}^{Q} \left[ S \right] = \sum_{\omega} Q(\omega) \cdot S(\omega) = \sum_{\omega} P(\omega) \cdot \dfrac{Q(\omega)}{P(\omega)} \cdot S(\omega) = \text{E}^{P} \left[ \dfrac{Q(\omega)}{P(\omega)} S(\omega) \right] $$

위험 중립 확률 분포하에서는 이자율 할인된 자산 가격은 drift를 가지지 않는다. 즉 기대값이 항상 동일하다.

$$ S_0 = \text{E}^{Q} \left[ e^{-rt} S(t) \right] $$

drift 가 존재하지 않으면 변동성이 크든 작든 기대 수익율은 고정 단기 무위험 이자율과 같다. 따라서 위험 중립이라고 부른다.

헤지 포트폴리오

헤지 포트폴리오는 확률 측도와 상관없이 주가 모형에 의해 결정된다. 즉, 어떤 확률 측도를 사용하더라도 거기에 해당하는 헤지 포트폴리오는 존재하게 된다.

자산 가격결정 기본 원리

자산 가격결정 기본 원리(Fundamental Theorem of Asset Pricing)는

  • 시장에 차익거래(arbitrage) 기회가 없으면
    • 위험 중립 확률 측도가 존재하고
  • 모든 파생상품에 헷지 포트폴리오(트레이딩 전략)이 존재하면
    • 위험 중립 확률 측도가 유일하게 존재한다

는 것을 증명한다.

파생상품 가격결정 방법론

자산 가격결정 기본 원리의 결론에 따라 차익거래 기회가 없다면 위험 중립 확률 측도 $Q$, 그리고 만기시에 파생상품의 가치와 같아지는 헷지 포트폴리오 $V$가 존재하고 이 포트폴리오 $V$의 현재 가치 $V_0$와 만기 가치 $V_T$사이에는 다음 관계가 성립한다.

$$ V_0 = \text{E}^{Q} \left[ e^{-rT} V_T \right] $$

따라서

  1. 위험 중립 확률 측도에 따른 기초자산의 분포 수식과
  2. 만기 페이오프 $V_T$를 알고 있다면 기대값 계산을 통해 현재 가치 $V_0$ 를 구할 수 있다.

기대값 계산

확률 측도를 알고 있다면 확률 변수의 기대값은 다음과 같은 방법으로 계산할 수 있다.

  1. 확률 변수가 될 수 있는 값을 몇 가지로 제한하여 유사한(approximate) 주가 모형을 만들고 여기에 대한 기대값을 계산
  2. 확률 변수의 시뮬레이션을 통해 적분의 유사값(approximate integral)을 계산

첫번째 방법은 이항 트리(binomial tree) 및 삼항 트리(trinomial tree) 방식이라고 불린다.

$$ V_0 \approx e^{-rT} \big( p(S_u) V_T(S_u) + p(S_d) V_T(S_d) \big) $$

두번째 방법은 몬테카를로 시뮬레이션 방법이라고 불리며 가장 많은 계산량을 요구한다.

$$ V_0 \approx \dfrac{e^{-rT} }{I} \sum_{i \in I} V_T(S_i) $$

질문/덧글

아직 질문이나 덧글이 없습니다. 첫번째 글을 남겨주세요!