작성자: admin 작성일시: 2016-06-07 23:10:49 조회수: 782 다운로드: 35
카테고리: 머신 러닝 태그목록:

정규화 선형 회귀

정규화(regularized) 선형 회귀 방법은 선형 회귀 계수(weight)에 대한 제약 조건을 추가함으로써 모형이 과도하게 최적화되는 현상, 즉 과최적화를 막는 방법이다. Regularized Method, Penalized Method, Contrained Least Squares 이라고도 불리운다.

모형이 과도하게 최적화되면 모형 계수의 크기도 과도하게 증가하는 경향이 나타난다. 따라서 정규화 방법에서 추가하는 제약 조건은 일반적으로 계수의 크기를 제한하는 방법이다. 일반적으로 다음과 같은 세가지 방법이 사용된다.

  • Ridge 회귀 모형
  • Lasso 회귀 모형
  • Elastic Net 회귀 모형

Ridge 회귀 모형

Ridge 회귀 모형에서는 가중치들의 제곱합(squared sum of weights)을 최소화하는 것을 추가적인 제약 조건으로 한다.

$$ \begin{eqnarray} \text{cost} &=& \sum e_i^2 + \lambda \sum w_i^2 \end{eqnarray} $$

$\lambda$는 기존의 잔차 제곱합과 추가적 제약 조건의 비중을 조절하기 위한 하이퍼 모수(hyper parameter)이다. $\lambda$가 크면 정규화 정도가 커지고 가중치의 값들이 작아진다. $\lambda$가 작아지면 정규화 정도가 작아지며 $\lambda$ 가 0이 되면 일반적인 선형 회귀 모형이 된다.

Lasso 회귀 모형

Lasso(Least Absolute Shrinkage and Selection Operator) 회귀 모형은 가중치의 절대값의 합을 최소화하는 것을 추가적인 제약 조건으로 한다.

$$ \begin{eqnarray} \text{cost} &=& \sum e_i^2 + \lambda \sum | w_i | \end{eqnarray} $$

Elastic Net 회귀 모형

Elastic Net 회귀 모형은 가중치의 절대값의 합과 제곱합을 동시에 제약 조건으로 가지는 모형이다.

$$ \begin{eqnarray} \text{cost} &=& \sum e_i^2 + \lambda_1 \sum | w_i | + \lambda_2 \sum w_i^2 \end{eqnarray} $$

$\lambda_1$, $\lambda_2$ 두 개의 하이퍼 모수를 가진다.

statsmodels의 정규화 회귀 모형

statsmodels 패키지는 OLS 선형 회귀 모형 클래스의 fit_regularized 메서드를 사용하여 Elastic Net 모형 계수를 구할 수 있다.

하이퍼 모수는 다음과 같이 모수 $\text{alpha} $ 와 $\text{L1_wt}$ 로 정의된다.

$$ 0.5 \times \text{RSS}/N + \text{alpha} \times \big( 0.5 \times (1-\text{L1_wt})\sum w_i^2 + \text{L1_wt} \sum |w_i| \big) $$
In [1]:
np.random.seed(0)
n_samples = 30
X = np.sort(np.random.rand(n_samples))
y = np.cos(1.5 * np.pi * X) + np.random.randn(n_samples) * 0.1

dfX = pd.DataFrame(X, columns=["x"])
dfX = sm.add_constant(dfX)
dfy = pd.DataFrame(y, columns=["y"])
df = pd.concat([dfX, dfy], axis=1)

model = sm.OLS.from_formula("y ~ x + I(x**2) + I(x**3) + I(x**4) + I(x**5) + I(x**6) + I(x**7) + I(x**8) + I(x**9)", data=df)
result1 = model.fit()
result1.params
Out[1]:
Intercept        0.830090
x               19.456558
I(x ** 2)     -439.348916
I(x ** 3)     3909.347642
I(x ** 4)   -18329.176673
I(x ** 5)    49280.750802
I(x ** 6)   -78994.113652
I(x ** 7)    74769.482237
I(x ** 8)   -38598.716765
I(x ** 9)     8381.793811
dtype: float64
In [2]:
def plot_statsmodels(result):
    plt.scatter(X, y)
    xx = np.linspace(0, 1, 1000)
    dfxx = pd.DataFrame(xx, columns=["x"])
    dfxx = sm.add_constant(dfxx)
    plt.plot(xx, result.predict(dfxx).values)
    plt.show()
    
plot_statsmodels(result1)    

모수 L1_wt가 0 이면 순수 Ridge 모형이 된다.

In [3]:
result2 = model.fit_regularized(alpha=0.01, L1_wt=0)
print(result2.params)
plot_statsmodels(result2) 
Intercept    0.747697
x           -2.053341
I(x ** 2)   -0.962382
I(x ** 3)   -0.139131
I(x ** 4)    0.297857
I(x ** 5)    0.484305
I(x ** 6)    0.529308
I(x ** 7)    0.501820
I(x ** 8)    0.442001
I(x ** 9)    0.371889
dtype: float64

반대로 모수 L1_wt가 1 이면 순수 Lasso 모형이 된다.

In [4]:
result3 = model.fit_regularized(alpha=0.01, L1_wt=1)
print(result3.params)
plot_statsmodels(result3) 
Intercept    0.872429
x           -2.900711
I(x ** 2)    0.000000
I(x ** 3)    0.000000
I(x ** 4)    0.000000
I(x ** 5)    0.918716
I(x ** 6)    0.627920
I(x ** 7)    0.354740
I(x ** 8)    0.139104
I(x ** 9)    0.000000
dtype: float64

모수 L1_wt가 0과 1 사이이면 Elastic Net 모형이다.

In [5]:
result4 = model.fit_regularized(alpha=0.01, L1_wt=0.5)
print(result4.params)
plot_statsmodels(result4) 
Intercept    0.791629
x           -2.485280
I(x ** 2)   -0.334919
I(x ** 3)    0.000000
I(x ** 4)    0.018108
I(x ** 5)    0.440759
I(x ** 6)    0.549247
I(x ** 7)    0.498811
I(x ** 8)    0.388577
I(x ** 9)    0.268337
dtype: float64

Scikit-Learn의 정규화 회귀 모형

Scikit-Learn 패키지에서는 정규화 회귀 모형을 위한 Ridge, Lasso, ElasticNet 이라는 별도의 클래스를 제공한다. 각 모형에 대한 최적화 목적 함수는 다음과 같다.

$$ \text{RSS} + \text{alpha} \sum w_i^2 $$ $$ 0.5 \times \text{RSS}/N + \text{alpha} \sum |w_i| $$ $$ 0.5 \times \text{RSS}/N + 0.5 \times \text{alpha} \times \big(0.5 \times (1-\text{l1_ratio})\sum w_i^2 + \text{l1_ratio} \sum |w_i| \big) $$
In [6]:
def plot_sklearn(model):
    plt.scatter(X, y)
    xx = np.linspace(0, 1, 1000)
    plt.plot(xx, model.predict(xx[:, np.newaxis]))
    plt.show()
In [7]:
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.pipeline import make_pipeline
from sklearn.linear_model import LinearRegression, Ridge, Lasso, ElasticNet

poly = PolynomialFeatures(9)
model = make_pipeline(poly, LinearRegression()).fit(X[:, np.newaxis], y)
print(model.steps[1][1].coef_)
plot_sklearn(model)
[  0.00000000e+00   1.94565584e+01  -4.39348916e+02   3.90934764e+03
  -1.83291767e+04   4.92807508e+04  -7.89941136e+04   7.47694822e+04
  -3.85987168e+04   8.38179381e+03]
In [8]:
model = make_pipeline(poly, Ridge(alpha=0.01)).fit(X[:, np.newaxis], y)
print(model.steps[1][1].coef_)
plot_sklearn(model)
[ 0.         -3.57707392 -1.24253699  0.65176155  1.39935489  1.3811883
  0.96006837  0.37104071 -0.25111269 -0.83604486]
In [9]:
model = make_pipeline(poly, Lasso(alpha=0.01)).fit(X[:, np.newaxis], y)
print(model.steps[1][1].coef_)
plot_sklearn(model)
[ 0.         -3.03534727 -0.          0.          0.          0.
  2.13679879  0.          0.          0.        ]
In [10]:
model = make_pipeline(poly, ElasticNet(alpha=0.01, l1_ratio=0.5)).fit(X[:, np.newaxis], y)
print(model.steps[1][1].coef_)
plot_sklearn(model)
[ 0.         -2.57943186 -0.26229281  0.          0.03701941  0.38586371
  0.4994734   0.48920509  0.41804678  0.32084092]

정규화 모형의 장점

정규화 모형은 회귀 분석에 사용된 데이터가 달라져도 계수가 크게 달라지지 않도록 한다.

In [11]:
X_train = np.c_[.5, 1].T
y_train = [.5, 1]
X_test = np.c_[-1, 3].T
np.random.seed(0)

models = {"LinearRegression": LinearRegression(), 
          "Ridge": Ridge(alpha=0.1)}

for i, (name, model) in enumerate(models.iteritems()):
    ax = plt.subplot(1, 2, i+1)
    for _ in range(10):
        this_X = .1 * np.random.normal(size=(2, 1)) + X_train
        model.fit(this_X, y_train)
        ax.plot(X_test, model.predict(X_test), color='.5')
        ax.scatter(this_X, y_train, s=100, c='.5', marker='o', zorder=10)
        model.fit(X_train, y_train)
        ax.plot(X_test, model.predict(X_test), linewidth=3, color='blue', alpha=0.5)
        ax.scatter(X_train, y_train, s=100, c='r', marker='D', zorder=10)
        plt.title(name)
        ax.set_xlim(-0.5, 2)
        ax.set_ylim(0, 1.6)

Ridge 모형과 Lasso 모형의 차이

Ridge 모형은 가중치 계수를 한꺼번에 축소시키는데 반해 Lasso 모형은 일부 가중치 계수가 먼저 0으로 수렴하는 특성이 있다.

In [12]:
from sklearn.datasets import load_diabetes
diabetes = load_diabetes()
X = diabetes.data
y = diabetes.target
In [13]:
ridge0 = Ridge(alpha=0).fit(X, y)
p0 = pd.Series(np.hstack([ridge0.intercept_, ridge0.coef_]))
ridge1 = Ridge(alpha=1).fit(X, y)
p1 = pd.Series(np.hstack([ridge1.intercept_, ridge1.coef_]))
ridge2 = Ridge(alpha=2).fit(X, y)
p2 = pd.Series(np.hstack([ridge2.intercept_, ridge2.coef_]))
pd.DataFrame([p0, p1, p2]).T
Out[13]:
0 1 2
0 152.133484 152.133484 152.133484
1 -10.012198 29.465746 33.684368
2 -239.819089 -83.154885 -41.040187
3 519.839787 306.351627 223.029964
4 324.390428 201.629434 152.203371
5 -792.184162 5.909369 20.941211
6 476.745838 -29.515927 -2.749722
7 101.044570 -152.040465 -121.063689
8 177.064176 117.311715 103.717329
9 751.279321 262.944995 195.099906
10 67.625386 111.878718 99.467716
In [14]:
lasso0 = Lasso(alpha=0.0001).fit(X, y)
p0 = pd.Series(np.hstack([lasso0.intercept_, lasso0.coef_]))
lasso1 = Lasso(alpha=0.1).fit(X, y)
p1 = pd.Series(np.hstack([lasso1.intercept_, lasso1.coef_]))
lasso2 = Lasso(alpha=10).fit(X, y)
p2 = pd.Series(np.hstack([lasso2.intercept_, lasso2.coef_]))
pd.DataFrame([p0, p1, p2]).T
Out[14]:
0 1 2
0 152.133484 152.133484 152.133484
1 -9.910816 -0.000000 0.000000
2 -239.727144 -155.362882 0.000000
3 519.881966 517.182017 0.000000
4 324.294322 275.082351 0.000000
5 -784.988701 -52.540269 0.000000
6 471.210031 -0.000000 0.000000
7 97.612539 -210.159753 -0.000000
8 175.802361 0.000000 0.000000
9 748.684614 483.914409 0.000000
10 67.610404 33.672821 0.000000

path 메서드

LassoElasticNet 클래스는 하이퍼 모수 alpha 값의 변화에 따른 계수의 변화를 자동으로 계산하는 path 메서드를 제공한다. lasso_path(), enet_path() 명령어도 path 메서드와 동일한 기능을 수행한다.

In [15]:
lasso = Lasso()
alphas, coefs, _ = lasso.path(X, y, alphas=np.logspace(-6, 1, 8))
df = pd.DataFrame(coefs, columns=alphas)
df
Out[15]:
10.0 1.0 0.1 0.01 0.001 0.0001 1e-05 1e-06
0 0.0 0.359018 10.286331 33.147694 8.705495 -5.452332 -9.080737 -9.902637
1 0.0 0.000000 0.285976 -35.245064 -178.075235 -230.060677 -238.307326 -239.649466
2 0.0 3.259767 37.464643 211.024640 450.882945 517.356795 520.767952 519.973879
3 0.0 2.204356 27.544898 144.560242 281.073242 317.436537 323.234112 324.258708
4 0.0 0.528646 11.108848 21.931303 -44.061899 -240.402810 -635.231952 -772.936350
5 0.0 0.250935 8.355882 0.000000 -77.939017 40.281395 352.230141 461.473758
6 -0.0 -1.861363 -24.120806 -115.619846 -188.950843 -136.775239 31.891364 92.542411
7 0.0 2.114454 25.505488 100.658528 119.797535 117.921788 158.412929 174.749027
8 0.0 3.105841 35.465757 185.326164 393.706827 533.930194 691.527537 743.979234
9 0.0 1.769851 22.894981 96.257133 98.943979 73.934816 68.648179 67.740903
In [16]:
df.T.plot(logx=True)
plt.show()

질문/덧글

path 메서드 moon*** 2016년 10월 23일 11:30 오후

lasso path의 결과물에서 해당 알파 값에 의해 추정된 coeff값과 lasso클래스에 같은 알파값을 인자로 줬을때 나오는 coeff값이 같지 않은 이유는 무엇인가요?

예를들어 질문을 드리면
lasso = Lasso()
alphas, coefs, _ = lasso.path(X, y, alphas=np.logspace(-6, 1, 8)) 에서 alpha가 0.0001일때의 coeff값들과

lasso0 = Lasso(alpha=0.0001).fit(X, y)
p0 = pd.Series(np.hstack([lasso0.coef_])) 에서 나오는 coeff 값들이

같지 않은 이유가 궁금합니다.

답변: path 메서드 관리자 2016년 10월 24일 10:33 오전

저도 당연히 같을거라고 생각했는데 확인해 보니 말씀하신대로 값이 조금 다르네요.
이 부분은 제가 코드 내부를 한 번 살펴보고 다시 답변을 드리도록 하겠습니다.