작성자: admin 작성일시: 2016-10-01 22:41:21 조회수: 198 다운로드: 50
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F 분포

student-t 분포와 카이 제곱 분포는 가우시안 정규 분포를 따르는 하나의 확률 변수 $X$ 의 $n$개의 샘플로부터 생성할 수 있다.

이와 비슷하게 F 분포도 카이 제곱 분포를 따르는 독립적인 두 개의 확률 변수 $\chi^2_1(n_1)$와 $\chi^2_2(n_2)$의 확률 변수 샘플로부터 생성할 수 있다. 두 카이 제곱 분포의 샘플을 각각 $x_1$, $x_2$이라고 할 때 이를 각각 $n_1$, $n_2$로 나누어 그 비율을 구하면 $F(n_1, n_2)$ 분포가 된다. $n_1$, $n_2$는 F 분포의 자유도 인수이다.

$$ \dfrac{x_1 / n_1}{x_2/ n_2} \sim F(n_1, n_2) $$

F 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같이 정의된다.

$$ f(x; n_1,n_2) = \dfrac{\sqrt{\dfrac{(n_1\,x)^{n_1}\,\,n_2^{n_2}} {(n_1\,x+n_2)^{n_1+n_2}}}} {x\,\text{Beta}\!\left(\frac{n_1}{2},\frac{n_2}{2}\right)} $$

df 명령어를 사용하여 확률 밀도 함수의 모양을 살펴보면 다음과 같다.

In:
library(RColorBrewer)
cols <- brewer.pal(n=5, name="Set1")
xx <- seq(0.01, 3, length=200)
plot(xx, df(xx, df1=1, df2=1), type="l", xlab="", ylab="", main="", xlim=c(0.01, 3), ylim=c(0, 2), col=cols[1]); par(new=TRUE)
plot(xx, df(xx, df1=2, df2=1), type="l", xlab="", ylab="", main="", xlim=c(0.01, 3), ylim=c(0, 2), col=cols[2]); par(new=TRUE)
plot(xx, df(xx, df1=5, df2=2), type="l", xlab="", ylab="", main="", xlim=c(0.01, 3), ylim=c(0, 2), col=cols[3]); par(new=TRUE)
plot(xx, df(xx, df1=10, df2=1), type="l", xlab="", ylab="", main="", xlim=c(0.01, 3), ylim=c(0, 2), col=cols[4]); par(new=TRUE)
plot(xx, df(xx, df1=20, df2=20), type="l", xlab="", ylab="", main="", xlim=c(0.01, 3), ylim=c(0, 2), col=cols[5]); par(new=TRUE)
legend("topleft", col=cols, lty=1,
       legend=c("F(1,1)", "F(2,1)", "F(5,2)", "F(10,1)", "F(20,20)"))

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