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작성자: admin 작성일시: 2016-04-22 23:32:12 조회수: 2598 다운로드: 312
카테고리: 시계열 분석 태그목록:

ARMA 모형

ARMA(p,q) 모형은 AR(p) 모형과 MA(q) 모형의 특징을 모두 가지는 모형을 말한다. 즉 $p$개의 자기 자신의 과거값과 $q$개의 과거 백섹 잡음의 선형 조합으로 현재의 값이 정해지는 모형이다.

$$ Y_t = -\phi_1 Y_{t-1} -\phi_2 Y_{t-2} -\cdots -\phi_p Y_{t-p} + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} +\theta_2 \epsilon_{t-2} \cdots +\theta_q \epsilon_{t-q} $$

ARMA($p,q$) 모형의 정상상태 조건은 AR($p$)모형의 정상상태 조건과 동일하다. 즉, MA($q$) 부분을 구성하는 계수 $\theta$는 정상상태 조건에 영향을 미치지 않는다.

ARMA(p,q) 모형을 일반 선형 확률 과정의 형태로 바꾸면 다음과 같아진다.

$$ Y_t = \epsilon_t + \psi_1 \epsilon_{t-1} + \psi_2 \epsilon_{t-2} + \cdots $$$$ \begin{eqnarray} \psi_1 &=& \theta_1 -\phi_1 \\ \psi_2 &=& \theta_2 - \phi_2 -\phi_1 \psi_1 \\ &\vdots& \\ \psi_j &=& \theta_j -\phi_p\psi_{j-p} -\phi_2 \psi_{p-1} + \cdots -\phi_1 \psi_{j-1} && \end{eqnarray} $$

ARMA(p,q) 모형의 자기상관계수도 다음과 같이 계수 $\phi$에 대한 방정식으로 주어진다.

$$ \rho_k = -\phi_1 \rho_{k-1} - \cdots -\phi_p \rho_{k-p} $$

위 식을 사용하면 주어진 자기상관계수 함수에 대해 이를 만족하는 ARMA모형을 찾아내는 것이 가능하다.

ARMA(p,q) 모형의 시뮬레이션

In [1]:
np.random.seed(0)
phi1 = 0.7
theta1 = -0.4
p1 = sm.tsa.ArmaProcess([1, -phi1], [1, -theta1])
y1 = p1.generate_sample(300, burnin=100)
plt.plot(y1, 'o-')
plt.title("ARMA(p,q) 모형의 시뮬레이션")
plt.show()
In [2]:
plt.subplot(211)
plt.stem(p1.acf(20))
plt.xlim(-1, 20)
plt.ylim(-0.3, 1.1)
plt.title("ARMA(p,q) 모형의 자기 상관 계수")

ax = plt.subplot(212)
sm.graphics.tsa.plot_acf(y1, lags=20, ax=ax)
plt.xlim(-1, 20)
plt.ylim(-0.3, 1.1)

plt.tight_layout()
plt.show()

가역성 조건

임의의 AR(p)모형을 일반선형확률과정으로 변환하였던 것 처럼 임의의 MA(p)모형도 무한 차원의 AR모형으로 변환하는 것이 가능하다. MA모형을 AR모형으로 변환하였을 때 변환된 AR 모형이 정상상태 조건을 만족하면 원래의 MA 모형이 가역(invertibile)이라고 한다. 주어진 자기상관계수 함수를 가지는 MA 모형은 복수개 있을 수 있지만 가역성 조건을 만족하는 MA 모형은 단 하나만 존재한다.

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