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작성자: admin 작성일시: 2016-04-22 23:32:12 조회수: 3909 다운로드: 394
카테고리: 시계열 분석 태그목록:

ARMA 모형

ARMA(p,q) 모형은 AR(p) 모형과 MA(q) 모형의 특징을 모두 가지는 모형을 말한다. 즉 $p$개의 자기 자신의 과거값과 $q$개의 과거 백색 잡음의 선형 조합으로 현재의 값이 정해지는 모형이다.

$$ Y_t = -\phi_1 Y_{t-1} -\phi_2 Y_{t-2} -\cdots -\phi_p Y_{t-p} + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} +\theta_2 \epsilon_{t-2} \cdots +\theta_q \epsilon_{t-q} $$

ARMA($p,q$) 모형의 정상상태 조건은 AR($p$)모형의 정상상태 조건과 동일하다. 즉, MA($q$) 부분을 구성하는 계수 $\theta$는 정상상태 조건에 영향을 미치지 않는다.

ARMA(p,q) 모형을 일반 선형 확률 과정의 형태로 바꾸면 다음과 같아진다.

$$ Y_t = \epsilon_t + \psi_1 \epsilon_{t-1} + \psi_2 \epsilon_{t-2} + \cdots $$$$ \begin{eqnarray} \psi_1 &=& \theta_1 -\phi_1 \\ \psi_2 &=& \theta_2 - \phi_2 -\phi_1 \psi_1 \\ &\vdots& \\ \psi_j &=& \theta_j -\phi_p\psi_{j-p} -\phi_2 \psi_{p-1} + \cdots -\phi_1 \psi_{j-1} && \end{eqnarray} $$

ARMA(p,q) 모형의 자기상관계수도 다음과 같이 계수 $\phi$에 대한 방정식으로 주어진다.

$$ \rho_l = -\phi_1 \rho_{l-1} - \cdots -\phi_p \rho_{l-p} $$

위 식을 사용하면 주어진 자기상관계수 함수에 대해 이를 만족하는 ARMA모형을 찾아내는 것이 가능하다.

ARMA(p,q) 모형의 시뮬레이션

ARMA(1,1) 모형

$$ Y_t = 0.7 Y_{t-1} + \epsilon_t -0.4 \epsilon_{t-1} $$

에 대한 시뮬레이션 코드는 아래와 같다.

In [1]:
np.random.seed(0)
p1 = sm.tsa.ArmaProcess([1, -0.7], [1, -0.4])
y1 = p1.generate_sample(300, burnin=100)
plt.plot(y1, 'o-')
plt.title("ARMA(p,q) 모형의 시뮬레이션")
plt.show()

다음은 위 ARMA(1,1) 모형의 자기상관계수함수다.

In [2]:
plt.subplot(211)
plt.stem(p1.acf(20))
plt.xlim(-1, 20)
plt.ylim(-0.3, 1.1)
plt.title("ARMA(1,1) 모형의 자기 상관 계수")

ax = plt.subplot(212)
sm.graphics.tsa.plot_acf(y1, lags=20, ax=ax)
plt.xlim(-1, 20)
plt.ylim(-0.3, 1.1)

plt.tight_layout()
plt.show()

질문/덧글

오타 youn*** 2019년 5월 8일 7:03 오전

다음의 문장에서
MA(p)모형도 무한 차원의 AR모형으로 변환하는 것이 가능하다

다음이 되어야 하는 것이 아닌지 질문드립니다.
MA(q)모형도 무한 차원의 AR모형으로 변환하는 것이 가능하다

답변: 오타 관리자 2019년 5월 10일 9:33 오전

수정하였습니다. 지적 감사합니다.