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작성자: admin 작성일시: 2016-04-22 19:43:14 조회수: 2182 다운로드: 326
카테고리: 시계열 분석 태그목록:

일반 선형확률과정 모형

정상 확률 과정(stationary process)에서 가장 일반적으로 사용되는 모형은 일반 선형확률과정 모형(general linear process model)이다. 일반 선형확률과정 모형은 시계열이 가우시안 백색 잡음의 현재 값과 과거 값들의 선형 조합으로 이루어져 있다고 가정한다. 이 수식에서 $\epsilon_t$는 가우시안 백색 잡음이고 $\psi$는 백색 잡음에 곱해지는 가중 계수(weight coefficient)이다.

$$ Y_t = \epsilon_t + \psi_1 \epsilon_{t-1} + \psi_2 \epsilon_{t-2} + \psi_3 \epsilon_{t-3} + \cdots $$

다만 선형확률과정 모형이 성립하려면 계수들이 다음 조건을 만족해야 한다. 이 조건은 전체 항들의 합이 수렴하도록 즉, 전체 값의 크기가 과도하게 커지지 않도록 하는 역할을 한다.

$$ \sum_{i=1}^{\infty} \psi_i^2 < \infty $$

이 모형을 블럭 다이어그램으로 나타내면 다음과 같다. 이 다이어그램에서 $L$는 신호가 저장되었다가 다음 시간에 나오는 일종의 저장 장치이다. 지연(lag) 요소라고 불린다. 책에 따라서는 D(Delay), B(Backshift)라고 표기하는 경우도 있다.

그림 15.1.1 : 일반선형확률과정 모형 블럭 다이어그램

Lag 연산자는 수식에서 다음과 같은 의미를 가진다.

$$ Y_{t-1} = LY_{t} $$$$ Y_{t-2} = L^2Y_{t} $$$$ Y_{t-k} = L^kY_{t} $$

일반 선형확률과정 모형은 계수의 특성에 따라 다음과 같은 하위 모형으로 분류할 수 있다

  • MA (Moving Average) 모형
  • AR (Auto-Regressive) 모형
  • ARMA (Auto-Regressive Moving Average) 모형

MA 모형

MA 모형은 일반 선형 확률 모형의 차수가 유한(finite)한 경우를 말한다. $q$차수의 MA 모형은 MA(q)로 표기하며 다음 수식을 만족한다.

$$ Y_t = \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \epsilon_{t-q} $$

그림 15.1.2 : MA 모형 블럭 다이어그램

MA 수식을 Lag 연산자(operator)를 사용하면 다음처럼 쓸 수 있다.

$$ Y_t = \epsilon_t + \theta_1 L \epsilon_{t} + \theta_2 L^2 \epsilon_{t} + \cdots + \theta_q L^q \epsilon_{t} $$$$ Y_t = (1 + \theta_1 L + \theta_2 L^2 + \cdots + \theta_q L^q) \epsilon_{t} $$

이를 줄여서 다음과 같이 쓰기도 한다.

$$ Y_t = \theta(L) \epsilon_t $$

이 식에서 $\theta(L)$은 다음 다항식을 뜻한다.

$$ \theta(L) = 1 + \theta_1 L + \theta_2 L^2 + \cdots \theta_q L^q $$

AR 모형

AR 모형은 자기 자신의 과거값에 의존적인 모형을 말한다. $p$차수의 AR 모형은 AR(p)로 표기하며 다음 수식을 만족한다.

$$ Y_t = -\phi_1 Y_{t-1} - \phi_2 Y_{t-2} - \cdots - \phi_p Y_{t-p} + \epsilon_t $$

AR 수식을 Lag 연산자(operator)를 사용하면 다음처럼 쓸 수 있다.

$$ (1 + \phi_1 L + \phi_2 L^2 + \cdots + \phi_p L^p) Y_t = \epsilon_{t} $$

이를 줄여서 다음과 같이 쓰기도 한다.

$$ \phi(L) Y_t = \epsilon_t $$

이 식에서 $\phi(L)$은 다음 다항식을 뜻한다.

$$ \phi(L) = 1 + \phi_1 L + \phi_2 L^2 + \cdots \phi_p L^p $$

그림 15.1.3 : AR 모형 블럭 다이어그램

ARMA 모형

ARMA 모형은 AR 모형과 MA 모형을 합친 모형이다.

$$ Y_t = -\phi_1 Y_{t-1} - \phi_2 Y_{t-2} - \cdots - \phi_p Y_{t-p} + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \epsilon_{t-q} $$

줄여서 다음과 같이 쓰기도 한다.

$$ \phi(L) Y_t = \theta(L) \epsilon_t $$

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