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작성자: admin 작성일시: 2016-06-02 18:29:56 조회수: 1962 다운로드: 269
카테고리: 시계열 분석 태그목록:

시계열 요인 모형

시계열 요인 모형(time series factor model)은 분석하고자 하는 다수의 시계열이 소수의 공통 요인(common factor) 시계열에 의존하고 있다는 가정하에 이러한 공통 요인 시계열을 찾아내는 작업이다.

주로 금융 시장에서 주식의 수익률 시계열이 전체 시장 움직임, 거시 경제 지표, 펀더멘탈 지표 등에 의존하는 특성을 정량화하는데 사용된다. 여기에서는 이해를 돕기 위해 분석하고자 하는 시계열이 특정 종목의 주식 수익률이라고 가정한다.

시계열 요인 모형에 따르면 주식 수익률 시계열 $r_it$는 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있다.

$$ r_{it} = \alpha_i + \beta_{i1} f_{1t} + \cdots \beta_{im} f_{mt} + e_{it} $$

이 식에서 기호는 다음과 같다.

  • $t = 1, \ldots, T$ : 시간 인덱스
  • $i = 1, \ldots, k$ : 종목 인덱스
  • $j = 1, \ldots, m$ : 요인(factor) 인덱스
  • $r_{it}$ : 주식 수익률 시계열
  • $f_{jt}$: (공통) 요인(factor) 시계열
  • $e_{it}$: 개별 요인(specific factor) 시계열
  • $\beta_{ij}$: (공통) 요인 가중치(factor loading)
  • $\alpha_i$: 상수항 (y 절편)

이 식을 모든 종목에 대해 합쳐서 나타내면 다음과 같다.

$$ \begin{eqnarray*} \begin{bmatrix} r_{i1} \\ r_{i2} \\ \vdots \\ r_{iT} \end{bmatrix} &=& \alpha_i \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} f_{11} & f_{21} & \cdots & f_{m1} \\ f_{12} & f_{22} & \cdots & f_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{1T} & f_{2T} & \cdots & f_{mT} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_{11} \\ \beta_{12} \\ \vdots \\ \beta_{1m} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e_{i1} \\ e_{i2} \\ \vdots \\ e_{iT} \end{bmatrix} \end{eqnarray*} $$$$ \begin{eqnarray*} R_i &=& \alpha_i 1_T + F \beta_i^T + E_i \\ \end{eqnarray*} $$

상수항을 요인 가중치 벡터에 합쳐서(augmented) 나타내면 다음과 같다.

$$ \begin{eqnarray*} r_t &=& \xi g_t + e_t = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ f_t \end{bmatrix} + e_t \end{eqnarray*} $$

모든 시간에 대해 이를 합치면 다음과 같은 multivariate linear regression 형태가 된다.

$$ \begin{eqnarray*} \begin{bmatrix} r_1^T \\ r_2^T \\ \vdots \\ r_T^T \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} g_1^T \\ g_2^T \\ \vdots \\ g_T^T \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha^T \\ \beta^T \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e_1^T \\ e_2^T \\ \vdots \\ e_T^T \end{bmatrix} \\ &=& \begin{bmatrix} 1 & f_1^T \\ 1 & f_2^T \\ \vdots \\ 1 & f_T^T \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha^T \\ \beta^T \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e_1^T \\ e_2^T \\ \vdots \\ e_T^T \end{bmatrix} \end{eqnarray*} $$$$ R = G\xi^T + E $$

이 식에서

  • $R \in \mathbf{R}^{T \times k}$ : 주식 수익률 행렬
  • $G \in \mathbf{R}^{T \times (m+1)}$ : (공통) 요인(factor) 행렬
  • $E \in \mathbf{R}^{T \times k}$ : 개별 요인(specific factor) 행렬
  • $\xi \in \mathbf{R}^{k \times (m+1)}$ : 요인 가중치(factor loading) 행렬

시계열 요인 모형의 가정

요인 분석은 회귀 분석(regression analysis)과 유사한 모형을 사용하지만 다음과 같은 차이점이 있다.

  • 회귀 분석은 요인(factor) $f$ 시계열을 알고 있는 상황에서 가중치(wegith, loading) 벡터 $\beta$ 를 구하는 작업
  • 요인 분석은 요인 혹은 가중치(또는 둘 다)가 관측 불가능한 경우에 나머지 변수를 추정하는 작업

따라서 요인 분석 모형은 회귀 분석을 포함하는 더 일반적인 모형으로 시계열의 특성에 대해 회귀 분석보다 많은 가정을 필요로 한다.

다음은 요인 분석 모형에서 사용하는 가정들이다.

  • 요인 시계열 $f_{jt}$은 $m$차원의 정상 신호이다. $$ \begin{eqnarray*} \text{E}[f_t] &=& \mu_f \\ \text{Cov}[f_t] &=& \sigma_f \end{eqnarray*} $$
  • 개별 요인 시계열 $e_{it}$ 은 서로 독립인 $k$ 차원의 가우시안 백색 잡음이다.
$$ \begin{eqnarray*} \text{E}[e_{it}] &=& 0 \;\; \text{for all $i$ and $t$} \\ \text{Cov}[e_{it}, e_{js}] &=& D = \begin{cases} \sigma_i^2 & \text{if $i=j$ and $t=s$} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{eqnarray*} $$
  • (공통) 요인 시계열 $f_{jt}$과 개별 요인 $e_{it}$ 시계열은 서로 독립이다.
$$ \begin{eqnarray*} \text{Cov}[f_{it}, e_{js}] &=& 0 \;\; \text{for all $i, j, t, s$} \end{eqnarray*} $$

참고 문헌:

  • R.S.Tsay, "Analysis of Financial Time Series, 2nd ed.", chap. 9, pp.405-442

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