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작성자: admin 작성일시: 2018-01-23 17:43:52 조회수: 4437 다운로드: 267
카테고리: 기초 수학 태그목록:

1.2 수열과 집합의 합과 곱

수열과 집합

$N$개 숫자 또는 변수가 순서대로 나열된 것을 수열(sequence)이라고 한다. 다음은 수열의 예이다.

$$ 1, 2, 3, 4 $$$$ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 $$

문자의 아랫 첨자는 순서를 나타내는 인덱스(index)이다. 수열의 순서가 중요하지 않은 경우에는 집합으로 표시하기도 한다.

$$ 1, 2, 3, 4 \;\; \rightarrow \;\; \{ 1, 2, 3, 4 \} $$$$ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \;\; \rightarrow \;\; \{ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \}$$

수열이 아주 길거나 수열의 길이가 숫자가 아닌 문자인 경우에는 $\ldots$(dots) 기호를 사용하여 다음처럼 가운데 부분을 생략할 수 있다.

$$ x_1, x_2, \ldots, x_N \tag{1.2.1} $$

집합에서도 마찬가지이다.

$$ \{ x_1, x_2, \ldots, x_N \} \tag{1.2.2} $$

데이터 분석에서는 1부터 $N$까지의 수열 또는 집합이 자주 나오기 때문에 위에서 사용한 기호 대신 다음과 같이 더 간단한 기호를 쓰는 경우도 많다.

$$ x_{1:N} \;\; \text{ 또는 } \;\; \{ x_i \}_N \tag{1.2.3} $$

수열의 합과 곱

다음 기호는 수열을 더하거나 곱하는 연산을 짧게 줄여 쓴 것이다. 그리스 문자의 시그마($\Sigma$)와 파이($\Pi$)를 본따서 만든 기호이지만 시그마와 파이로 읽지 않고 영어로 sum, product라고 읽어야 한다.

$$ \sum_{i=1}^N x_i = x_1 + x_2 + \ldots + x_N \tag{1.2.4} $$$$ \prod_{i=1}^N x_i = x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_N \tag{1.2.5} $$

다음은 합과 곱 기호를 사용한 수식의 예이다.

$$ \sum_{i=1}^4 i =1 + 2 + 3 + 4 $$$$ \sum_{k=1}^4 2k = 2\cdot 1 + 2\cdot 2 + 2\cdot 3 + 2\cdot 4 $$$$ \prod_{i=1}^3 x_i^{y_i} = x_1^{y_1} x_2^{y_2} x_3^{y_3} $$

연습 문제 1.2.1

다음 수식을 풀어 써라. 이 수식들은 이후에 머신러닝 모형에 등장할 수식이다.

  1. 이 식은 분류 모형 중의 하나인 서포트 벡터 머신(support vector machine) 모형에 나온다. $$ \sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 a_i a_j y_i y_j x_i x_j $$

  2. 이 식은 특잇값 분해(singular value decomposition)에 나온다. $$ \sum_{k=1}^3 \sum_{i=1}^3 \sigma^2_i (v_iw_k)^2 $$

  3. 이 식은 카테고리 분포(ctegorical distribution)의 추정에 사용된다. $$ \prod_{i=1}^4 \prod_{k=1}^4 \theta_k^{x_{i,k}} $$

  4. 가우시안 혼합 모형에 다음과 비슷한 수식이 나온다. $$ \prod_{i=1}^4 \sum_{k=1}^2 \pi_k x_i \mu_k $$

연습 문제 1.2.2

수열의 곱은 여러개의 값 중 하나를 선택하는 경우에도 쓰일 수 있다. 수열 $x_i$가 다음과 같다고 하자.

$$ x_i : x_1, x_2, x_3, x_4 $$

이 값 중 하나만 선택하고 싶다면 다음처럼 모두 0이고 하나만 1인 수열 $y_i$를 사용하면 된다.

$$ y_i : 0, 1, 0, 0 $$
  1. $x_i$와 $y_i$가 위와 같을 때 다음 값을 계산하라.
$$ \prod_i x_i^{y_i} $$
  1. 만약 수열 $y_i$에서 $y_3=1$이고 나머지값이 0이라면 답이 어떻게 달라지는가?

합이나 곱을 중첩하여 여러번 쓰는 경우도 있다. 합과 곱을 중첩하여 쓸 때는 다음처럼 괄호를 생략할 수 있다. 합이나 곱이 중첩된 경우에는 인덱스가 여러개가 된다.

$$ \sum_{i=1}^N \left( \sum_{j=1}^M x_{ij} \right) = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^M x_{ij} \tag{1.2.6} $$

다음은 합과 곱을 중첩한 수식의 예이다.

$$ \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^3 ( i+j ) = (1 + 1) + (1 + 2) + (1 + 3) + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) $$$$ \prod_{m=1}^3\prod_{n=1}^2 (m + 2n) = (1 + 2 \cdot 1) \cdot (1 + 2 \cdot 2) \cdot (2 + 2 \cdot 1) \cdot (2 + 2 \cdot 2) \cdot (3 + 2 \cdot 1) \cdot (3 + 2 \cdot 2) $$

수열의 합과 곱 연산은 다음과 같은 성질을 가지고 있다.

(1) 인덱스 문자가 바뀌어도 실제 수식은 달라지지 않는다.

$$ \sum_{i=1}^N x_i = \sum_{j=1}^N x_j \tag{1.2.7} $$

(2) 더해야 하는 값들이 여러 항의 합으로 되어 있으면 각각의 합을 먼저 구한 후에 더해도 된다.

$$ \sum_{i=1}^N (x_i + y_i) = \sum_{i=1}^N x_i + \sum_{i=1}^N y_i \tag{1.2.8} $$

(3) 합이나 곱을 중첩하는 경우에는 중첩의 순서를 바꾸어도 결과가 같다.

$$ \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^M = \sum_{j=1}^M \sum_{i=1}^N \tag{1.2.9} $$$$ \prod_{i=1}^N \prod_{j=1}^M = \prod_{j=1}^M \prod_{i=1}^N \tag{1.2.10} $$

예를 들어 다음 두 식은 항들의 순서만 바뀌었고 그 합은 같다는 것을 알 수 있다.

$$ \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^3 x_{ij} = (x_{11} + x_{12} + x_{13}) + (x_{21} + x_{22} + x_{23}) $$$$ \sum_{j=1}^3 \sum_{i=1}^2 x_{ij} = (x_{11} + x_{21}) + (x_{12} + x_{22}) + (x_{13} + x_{23}) $$

연습 문제 1.2.3

다음 두 식의 좌변과 우변이 같음을 증명하라. (힌트: 등호의 왼쪽과 오른쪽 각각의 식을 풀어서 같아짐을 보인다.) 이 수식들은 선형대수에서 벡터 및 행렬의 곱에 유용하게 사용된다.

1. $$ \left( \sum_{i=1}^3 x_i \right)^2 = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 x_i x_j $$

2. $$ \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 x_i y_{ij} = \sum_{i=1}^3 \left( x_i \sum_{j=1}^3 y_{ij} \right) $$

집합의 합과 곱

수열이 아니라 집합의 원소들의 합과 곱을 구할 때는 인덱스 대신 집합 기호를 사용한다.

만약 집합 $X$의 원소가 다음과 같다면,

$$ X = \{ x_1, x_2, x_3 \} $$

이 집합의 원소의 합과 곱은 다음처럼 표시한다. 이 때는 합과 곱 기호 안에 인덱스가 없다.

$$ \sum_X x = x_1 + x_2 + x_3 $$$$ \prod_X x = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 $$

원소 중에서 특정한 조건을 가진 원소만 포함시키거나 제외하여 합과 곱을 구하는 경우도 있다. 이 때는 인덱스 위치에 조건을 표시한다. 예를 들어 다음 식은 집합 $X$의 원소 중 0이 아닌 것만 곱한 값을 뜻한다.

$$ \prod_{x \in X, x \neq 0 } x $$

연습 문제 1.2.4

두 집합 $X_1, X_2$가 있고 $x_1$은 $X_1$의 원소들, $x_2$은 $X_2$의 원소들을 가리킬 때 다음 두 식의 좌변과 우변이 같음을 증명하라. 이 식의 확장된 버전은 추후 베이지안 네트워크의 합-곱(sum-product) 알고리즘에 사용된다.

$$ \prod_{i} \sum_{X_i} x_{i} = \sum_{X_i} \prod_{i} x_i $$

질문/덧글

dono*** 2018년 1월 29일 3:26 오전

연습문제 1번 바로위의 Product를 풀어놓은 수식에서 4가 반복이 됩니다. 박사님

답변: 관리자 2018년 1월 30일 10:36 오전

수정하였습니다. 지적 감사합니다.

연습문제 1번 바로위의 Product식에 밑 m=1 m=4 로 둘다 m으로 적혀있습니다. aod8*** 2018년 5월 14일 1:39 오후

n=1 m=4가 맞는거 같은데 제가 잘못생각한것일가요?

답변: 연습문제 1번 바로위의 Product식에 밑 m=1 m=4 로 둘다 m으로 적혀있습니다. 관리자 2018년 5월 18일 5:48 오후

수정하였습니다. 지적 감사합니다.