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작성자: admin 작성일시: 2018-01-23 17:43:52 조회수: 2828 다운로드: 176
카테고리: 기초 수학 태그목록:

수학 기호

여기에서는 본 장에서 설명하는 수학적인 내용을 이해하기 위해 기본적으로 알아야하는 여러가지 수학 기호의 의미를 설명하였다. 고등학교 및 대학의 수학 과정에 나오는 내용이므로 이미 알고 있거나 연습문제를 풀 수 있는 독자는 본 절을 생략하고 다음으로 넘어가도 된다.

그리스 문자

수학에서는 변수의 이름으로 그리스 문자를 많이 사용하므로 그리스 문자를 읽고 쓰는 법을 알아야 한다. 다음 표에 그리스 문자와 영어 표기, 한글 표기를 나타내었다. 특히 몇몇 글자는 비슷하게 생긴 영어나 숫자와 헷갈리지 않도록 주의해야 한다. 이 표에서는 잘 쓰이지 않는 몇 글자는 제외하였다.

알파벳 대문자 알파벳 소문자 영어 이름 한글 표기 주의점
$\Huge A$ $\Huge \alpha$ alpha 알파 영어 a와 다르므로 주의
$\Huge B$ $\Huge \beta$ beta 베타 영어 b와 다르므로 주의
$\Huge \Gamma$ $\Huge \gamma$ gamma 감마 영어 r과 다르므로 주의
$\Huge \Delta$ $\Huge \delta$ delta 델타
$\Huge E$ $\Huge \epsilon$ epsilon 엡실론 영어 e와 다르므로 주의
$\Huge Z$ $\Huge \zeta$ zeta 제타
$\Huge H$ $\Huge \eta$ eta 에타
$\Huge \Theta$ $\Huge \theta$ theta 쎄타
$\Huge K$ $\Huge \kappa$ kappa 카파 영어 k와 다르므로 주의
$\Huge \Lambda$ $\Huge \lambda$ lambda 람다
$\Huge M$ $\Huge \mu$ mu
$\Huge N$ $\Huge \nu$ nu 영어 v와 다르므로 주의
$\Huge \Xi$ $\Huge \xi$ xi 크싸이
$\Huge \Pi$ $\Huge \pi$ phi 파이
$\Huge P$ $\Huge \rho$ rho 영어 p와 다르므로 주의
$\Huge \Sigma$ $\Huge \sigma$ sigma 시그마 숫자 6과 다르므로 주의
$\Huge T$ $\Huge \tau$ tau 타우 영어 t와 다르므로 주의
$\Huge \Phi$ $\Huge \phi$ phi 파이/피
$\Huge X$ $\Huge \chi$ chi 카이 영어 x와 다르므로 주의
$\Huge \Psi$ $\Huge \psi$ psi 프사이
$\Huge \Omega$ $\Huge \omega$ omega 오메가 영어 w와 다르므로 주의

연습 문제 5.0.1

위 표에 있는 그리스 문자를 종이에 펜으로 2번 이상 반복하여 쓰며 외우자. 특히 영어 이름의 철자는 꼭 알고 있어야 한다.

합과 곱

다음 기호는 여러개의 수를 연속하여 더하거나 곱하는 연산을 짧게 줄여 쓴 것이다. 그리스 문자의 시그마($\Sigma$)와 파이($\Pi$)를 본따서 만든 기호이지만 시그마, 파이로 읽지 않고 보통 sum(썸), product(프로덕트)라고 읽는다. 문자의 아랫 첨자는 인덱스(index)로서 순서를 나타낸다. 인덱스로 사용되는 알파벳은 어떤 문자를 써도 되지만 보통 $i, j, k, l, m, n$ 등을 사용한다.

$$ \sum_{i=1}^N x_i = x_1 + x_2 + \ldots + x_N $$$$ \prod_{i=1}^N x_i = x_1 \times x_2 \times \ldots \times x_N $$

다음은 sum과 product를 사용한 수식의 예이다.

$$ \sum_{i=1}^4 i =1 + 2 + 3 + 4 $$$$ \sum_{k=1}^4 2k = 2\cdot 1 + 2\cdot 2 + 2\cdot 3 + 2\cdot 4 $$$$ \prod_{i=1}^3 x_i^{y_i} = x_1^{y_1} x_2^{y_2} x_3^{y_3} $$

인덱스 문자가 바뀌어도 실제 수식은 달라지지 않는다.

$$ \sum_{i=1}^3 x_i = \sum_{j=1}^3 x_j = x_1 + x_2 + x_3 $$

더해야 하는 값들이 여러 항의 합으로 되어 있으면 각각의 합을 먼저 구한 후에 더해도 된다.

$$ \sum_{i=1}^N (x_i + y_i + z_i) = \sum_{i=1}^N x_i + \sum_{i=1}^N y_i + \sum_{i=1}^3 z_i $$

합이나 곱을 중첩하여 여러번 쓰는 경우도 있다. 다만 합과 곱을 중첩하여 쓸 때는 다음처럼 괄호를 생략할 수 있다. 다만 인덱스 문자는 각각 다르게 사용해야 한다.

$$ \sum_{i=1}^N \left( \sum_{j=1}^M x_{ij} \right) = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^M x_{ij} $$

다음은 합과 곱을 중첩한 수식의 예이다.

$$ \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^3 ( i+j ) = (1 + 1) + (1 + 2) + (1 + 3) + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) $$$$ \prod_{l=1}^3 l^2 = 1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 $$$$ \prod_{m=1}^3\prod_{n=4}^5 (m + 2n) = (1 + 2\cdot 4) \cdot (1 + 2\cdot 5) \cdot (2 + 2\cdot 4) \cdot (2 + 2\cdot 5)\cdot (3 + 2\cdot 4) \cdot (3 + 2\cdot 5) $$

합이나 곱을 중첩하는 경우에는 중첩의 순서를 바꾸어도 결과가 같다.

$$ \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^M = \sum_{j=1}^M \sum_{i=1}^N $$$$ \prod_{i=1}^N \prod_{j=1}^M = \prod_{j=1}^M \prod_{i=1}^N $$

예를 들어 다음 두 식은 항들의 순서만 바뀌었고 그 합은 같다는 것을 알 수 있다.

$$ \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^3 x_{ij} = (x_{11} + x_{12} + x_{13}) + (x_{21} + x_{22} + x_{23}) $$$$ \sum_{j=1}^3 \sum_{i=1}^2 x_{ij} = (x_{11} + x_{21}) + (x_{12} + x_{22}) + (x_{13} + x_{23}) $$

연습 문제 5.0.2

다음 수식을 풀어 써라. 이 수식들은 나중에 실제로 공부하게 될 것들이다.

1. $$ \sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 a_i a_j y_i y_j x_i x_j $$

2. $$ \sum_{k=1}^2 \sum_{i=1}^3 \sigma^2_i (v_iw_k)^2 $$

3. $$ \prod_{i=1}^3 \prod_{k=1}^4 \theta_k^{x_{i,k}} $$

4. $$ \prod_{i=1}^3 \sum_{k=1}^{2} \theta_k x_i \mu_k $$

연습 문제 5.0.3

다음 두 식이 같음을 증명하라. (힌트: 등호의 왼쪽과 오른쪽 각각의 식을 풀어서 같아짐을 보인다.) 이 수식들은 추후 선형대수에서 벡터 및 행렬의 곱에 유용하게 사용된다.

1. $$ \left( \sum_{i=1}^3 x_i \right)^2 = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 x_i x_j $$

2. $$ \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 x_i y_{ij} = \sum_{i=1}^3 \left( x_i \sum_{j=1}^3 y_{ij} \right) $$

연습 문제 5.0.4*

다음 두 식이 같음을 증명하라. (힌트: 등호의 왼쪽과 오른쪽 각각의 식을 풀어서 같아짐을 보인다.) 이 식의 확장된 버전은 추후 베이지안 네트워크의 sum-product 알고리즘에 사용된다.

$$ \displaystyle\sum_{x_1 = 1}^3\sum_{x_2 = 1}^3 f_1(x_1)f_2(x_2) = \displaystyle\prod_{i=1}^2\sum_{j=1}^3f_i(j) $$

극한

수식에서 특정한 수를 점점 특정한 방향으로 변화시킬 때 그 수식의 결과값이 수렴하는 값을 나타낼 때 극한(limit) 기호 $\lim$을 사용한다.

예를 들어 다음 식은 $x$의 값이 점점 0으로 다가갈 때 $1/x$의 값을 나타낸다.

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x} $$

숫자를 0으로 나누는 것이 불가능하기 때문에 정확히 $x=0$일 때는 $1/x$를 정의할 수는 없다. 하지만 $x$가 정확히 0이 되기 직전까지는 $1/x$를 계산할 수 있고 이 값은 점점 무한대(infinity, $\infty$)로 다가간다는 것을 알 수 있다. 원래 극한의 수학적인 정의는 delta-epsilon 정의라는 것을 이용하지만 직관적으로 값을 구할 수 있는 경우가 많다.

$$ x = 0.1 \;\; \rightarrow \;\; \frac{1}{x} = 10 $$$$ x = 0.01 \;\; \rightarrow \;\; \frac{1}{x} = 100 $$$$ x = 0.001 \;\; \rightarrow \;\; \frac{1}{x} = 1000 $$$$ x = 0.0001 \;\; \rightarrow \;\; \frac{1}{x} = 10000 $$$$ \vdots $$

따라서 위 극한식은 다음처럼 쓸 수 있다.

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x} = \infty $$

연습 문제 5.0.5

다음 극한식의 값을 구하라.

$$ \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{1}{x} $$

다수의 변수

$N$개 변수의 집합을 표시할 때는 $\ldots$(dots) 기호를 사용하여 다음처럼 표기한다.

$$ x_1, \ldots, x_N $$

이를 다음처럼 짧게 줄여서 표시할 수도 있다.

$$ \{ x_i \}_N \;\; \text{ 또는 } \;\; \{ x_i \} \;\; \text{ 또는 } \;\; x_{1:N} $$

질문/덧글

dono*** 2018년 1월 29일 3:26 오전

연습문제 1번 바로위의 Product를 풀어놓은 수식에서 4가 반복이 됩니다. 박사님

답변: 관리자 2018년 1월 30일 10:36 오전

수정하였습니다. 지적 감사합니다.

연습문제 1번 바로위의 Product식에 밑 m=1 m=4 로 둘다 m으로 적혀있습니다. aod8*** 2018년 5월 14일 1:39 오후

n=1 m=4가 맞는거 같은데 제가 잘못생각한것일가요?

답변: 연습문제 1번 바로위의 Product식에 밑 m=1 m=4 로 둘다 m으로 적혀있습니다. 관리자 2018년 5월 18일 5:48 오후

수정하였습니다. 지적 감사합니다.