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작성자: admin 작성일시: 2018-01-23 17:43:52 조회수: 2017 다운로드: 112
카테고리: 기초 수학 태그목록:

수학 기호

수학을 공부하기 위해서는 우선 그리스 문자와 몇가지 기본적인 수학 연산 기호를 알아야 한다.

그리스 문자

다음은 수학에서 자주 사용되는 그리스 문자들이다. 잘 쓰이지 않는 몇 글자는 제외하였다. 그리스 문자, 특히 소문자의 쓰는 법과 읽는 법을 알고 있어야 이제부터 나오는 수식을 공부할 수 있다. 다음 글자는 비슷하게 생긴 영어나 숫자와 헷갈리지 않도록 주의해야 한다.

  • $\alpha$ (그리스 문자 알파), a (영어)
  • $\beta$ (그리스 문자 베타), b (영어)
  • $\gamma$ (그리스 문자 감마), r (영어)
  • $\epsilon$ (그리스 문자 엡실론), e (영어)
  • $\kappa$ (그리스 문자 카파), k (영어)
  • $\nu$ (그리스 문자 뉴), v (영어)
  • $\rho$ (그리스 문자 로), p (영어)
  • $\sigma$ (그리스 문자 시그마), 6 (숫자)
  • $\omega$ (그리스 문자 오메가), w (영어)
알파벳 대문자 알파벳 소문자 영어 이름 한글 표기
$A$ $\alpha$ alpha 알파
$B$ $\beta$ beta 베타
$\Gamma$ $\gamma$ gamma 감마
$\Delta$ $\delta$ delta 델타
$E$ $\epsilon$ epsilon 엡실론
$Z$ $\zeta$ zeta 제타
$H$ $\eta$ eta 에타
$\Theta$ $\theta$ theta 쎄타
$K$ $\kappa$ kappa 카파
$\Lambda$ $\lambda$ lambda 람다
$M$ $\mu$ mu
$N$ $\nu$ nu
$\Xi$ $\xi$ xi 크싸이
$\Pi$ $\pi$ phi 파이
$P$ $\rho$ rho
$\Sigma$ $\sigma$ sigma 시그마
$T$ $\tau$ tau 타우
$\Phi$ $\phi$ phi 파이/피
$X$ $\chi$ chi 카이
$\Psi$ $\psi$ psi 프사이
$\Omega$ $\omega$ omega 오메가

합과 곱

다음 기호는 여러개의 수를 연속하여 더하거나 곱하는 연산을 짧게 줄여 쓴 것이다. 그리스 문자의 시그마와 파이를 본따서 만든 기호이지만 시그마, 파이로 읽지 않고 sum, product라고 읽는다. 문자의 아랫 첨자 번호 즉, 인덱스(index)로 사용되는 알파벳은 $i$ 대신 어떤 것을 써도 되지만 $i, j, k, l, m, n$ 등이 많이 사용된다.

$$ \sum_{i=1}^N x_i = x_1 + x_2 + \ldots + x_N $$$$ \prod_{i=1}^N x_i = x_1 \times x_2 \times \ldots \times x_N $$

다음은 sum과 product를 사용한 수식의 예이다.

$$ \sum_{i=1}^4 i =1 + 2 + 3 + 4 $$$$ \sum_{j=1}^3 x = x + x + x $$$$ \sum_{k=1}^4 2k = 2\cdot 1 + 2\cdot 2 + 2\cdot 3 + 2\cdot 4 $$

합이나 곱을 중첩하여 여러번 쓰는 경우도 있다.

$$ \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^3 ( i+j ) = (1 + 1) + (1 + 2) + (1 + 3) + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) $$$$ \prod_{l=1}^3 l^2 = 1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 $$$$ \prod_{m=1}^3\prod_{n=4}^5 (m + 2n) = (1 + 2\cdot 4) \cdot (1 + 2\cdot 5) \cdot (2 + 2\cdot 4) \cdot (2 + 2\cdot 5)\cdot (3 + 2\cdot 4) \cdot (3 + 2\cdot 5) $$

합이나 곱을 중첩하는 경우에는 중첩의 순서를 바꾸어도 결과가 같다.

$$ \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^M = \sum_{j=1}^M \sum_{i=1}^N $$$$ \prod_{i=1}^N \prod_{j=1}^M = \prod_{j=1}^M \prod_{i=1}^N $$

연습 문제 1

다음 수식을 풀어 써라.

1. $$ \prod_{i=1}^3 \prod_{k=1}^4 \theta_k^{x_{i,k}} $$

2. $$ \prod_{i=1}^3 \prod_{j=1}^2 a_{i,j} x_i x_y $$

연습 문제 2

다음 두 식이 같음을 증명하라. (힌트: 각각의 식을 풀어서 같아짐을 보인다.)

$$ \left( \sum_{i=1}^3 x_i \right)^2 = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 x_i x_j $$

다수의 변수

다수의 변수를 표시하는 경우에는 $\ldots$ 기호를 사용하여 다음처럼 표기한다.

$$ x_1, \ldots, x_N $$

그런데 이 기호는 길기 때문에 다음처럼 짧게 줄여서 표시하는 경우도 있다.

$$ \{ x_i \}_N \;\; \text{ 또는 } \;\; \{ x_i \} $$

또는

$$ x_{1:N} $$

극한

수식에서 특정한 수를 점점 특정한 방향으로 변화시킬 때 그 수식의 결과값이 변화되는 방향을 나타낼 때 극한(limit) 기호를 사용한다.

예를 들어 다음과 같은 수식을 보자.

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x} $$

숫자를 0으로 나누는 것이 정의되지 않기 때문에 정확히 $x=0$일 때는 $\frac{1}{x}$은 정의할 수 없다. 하지만 $x$가 정확히 0이 되기 직전까지는 $\frac{1}{x}$를 정의할 수 있고 이 값은 점점 무한대(infinity, $\infty$)로 다가간다는 것을 알 수 있다.

$$ x = 0.1 \;\; \rightarrow \;\; \frac{1}{x} = 10 $$$$ x = 0.01 \;\; \rightarrow \;\; \frac{1}{x} = 100 $$$$ x = 0.001 \;\; \rightarrow \;\; \frac{1}{x} = 1000 $$$$ x = 0.0001 \;\; \rightarrow \;\; \frac{1}{x} = 10000 $$$$ \vdots $$

따라서 위 극한식은 다음처럼 쓸 수 있다.

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x} = \infty $$

질문/덧글

dono*** 2018년 1월 29일 3:26 오전

연습문제 1번 바로위의 Product를 풀어놓은 수식에서 4가 반복이 됩니다. 박사님

답변: 관리자 2018년 1월 30일 10:36 오전

수정하였습니다. 지적 감사합니다.

연습문제 1번 바로위의 Product식에 밑 m=1 m=4 로 둘다 m으로 적혀있습니다. aod8*** 2018년 5월 14일 1:39 오후

n=1 m=4가 맞는거 같은데 제가 잘못생각한것일가요?

답변: 연습문제 1번 바로위의 Product식에 밑 m=1 m=4 로 둘다 m으로 적혀있습니다. 관리자 2018년 5월 18일 5:48 오후

수정하였습니다. 지적 감사합니다.