네트워크 추론¶

확률모형에서 일부 확률변수의 값이 주어졌을 때 다른 확률변수의 값이 얼마인지를 알아내는 것을 추론(inference)라고 한다.

조건부 확률분포함수 \(p(X_{\text{unknown}}|\{X\}_{\text{known}})\)를 알면 일부 확률변수의 값 \(\{X\}_{\text{known}}\)이 주어졌을 때 다른 확률변수 \(X_{\text{unknown}}\)의 확률 \(p(X_{\text{unknown}})\)을 알 수 있으므로 추론은 조건부 확률분포함수 \(p(X_{\text{unknown}}|\{X\}_{\text{known}})\)를 알아내는 것과 같다.

앞에서 사용했던 예를 다시 들어보자. 확률변수 \(A, B, C\)가 각각 어떤 학생의

A: 건강 상태
B: 공부 시간
C: 시험 성적

을 나타낸 것이고 이 확률변수는 각각 \(\{0, 1, 2\}\)라는 값을 가질 수 있는데 하(0), 중(1), 상(2)의 상태를 나타낸다.

from IPython.core.display import Image
from networkx.drawing.nx_pydot import to_pydot

from pgmpy.factors.discrete import TabularCPD
from pgmpy.models import BayesianModel


P_A = TabularCPD('A', 3, [[0.1, 0.6, 0.3]])
P_B_I_A = TabularCPD('B', 3, 
    np.array([[0.6, 0.2, 0.2], [0.3, 0.5, 0.2], [0.1, 0.3, 0.6]]),
    evidence=['A'], evidence_card=[3])
P_C_I_B = TabularCPD('C', 3, 
    np.array([[0.8, 0.1, 0.1], [0.1, 0.8, 0.1], [0.1, 0.1, 0.8]]),
    evidence=['B'], evidence_card=[3])
                     
model = BayesianModel([('A', 'B'), ('B', 'C')])
model.add_cpds(P_A, P_B_I_A, P_C_I_B)

d = to_pydot(model)
d.set_dpi(300)
d.set_margin(0.2)
d.set_rankdir("LR")
Image(d.create_png(), width=600)

이 그래프 확률모형을 기반으로 다음과 같은 문제를 풀어보자.

이 학생의 시험 성적이 어떤 확률분포를 가질 것인가? 어떤 성적을 맞을 확률이 가장 높은가?
이 학생의 건강 상태가 좋았다. 어떤 성적을 맞을 확률이 가장 높은가?
이 학생의 공부 시간이 적었지만 시험 성적은 좋았다. 건강 상태가 어땠을까?

1번 문제는 무조건부 확률분포함수 \(P(C)\)를 찾는 것이다. 2번 문제는 조건부 확률분포함수 \(P(C|A=2)\)를 찾는 것이고 3번 문제는 조건부 확률분포함수 \(P(A|B=0, C=2)\)를 찾는 문제이다.

베이지안 네트워크나 마코프 네트워크와 같은 그래프 확률모형에서 추론을 하려면

변수제거(variable elimination)
신뢰전파(belief propagation)

방법을 사용한다.

변수제거¶

위에서 예로 든 모형의 경우 결합확률분포는 다음과 같다.

\[ P(A, B, C) = P(A)P(B|A)P(C|B) \]

우선 특정한 확률변수의 무조건부 확률분포를 구하는 방법을 알아보자. 우선 \(C\) 분포함수를 알 때 \(B\)의 분포함수는 다음처럼 구한다.

\[\begin{split} \begin{eqnarray} P(B=0) &=& \sum_A P(B=0|A)P(A) \\ &=& P(B=0|A=0)P(A=0) + P(B=0|A=1)P(A=1) + P(B=0|A=2)P(A=2) \\ \end{eqnarray} \end{split}\]

\(B=1, B=2\)인 경우에도 같은 방법으로 계산한다.

이번에는 \(C\)의 분포함수를 계산하자.

\[\begin{split} \begin{eqnarray} P(C) &=& \sum_{A, B} P(C|B)P(B|A)P(A) \\ \end{eqnarray} \end{split}\]

여기에서 \(\sum_{A, B}\)는 \(A, B\)가 가질 수 있는 모든 조합의 경우를 뜻한다.

\[ \sum_{A, B} = \sum_{A} \sum_{B} \]

따라서

\[\begin{split} \begin{eqnarray} P(C=0) &=& P(C=0|B=0)P(B=0|A=0)P(A=0) + P(C=0|B=0)P(B=0|A=1)P(A=1) + P(C=0|B=0)P(B=0|A=2)P(A=2) + \\ & & P(C=0|B=1)P(B=1|A=0)P(A=0) + P(C=0|B=1)P(B=1|A=1)P(A=1) + P(C=0|B=1)P(B=1|A=2)P(A=2) + \\ & & P(C=0|B=2)P(B=2|A=0)P(A=0) + P(C=0|B=2)P(B=2|A=1)P(A=1) + P(C=0|B=2)P(B=2|A=2)P(A=2) \\ \end{eqnarray} \end{split}\]

와 같이 \(P(C=0)\)을 구할 수 있다. 이제 계산량을 줄이기 위해 같은 계산은 인수분해로 묶어보면

\[\begin{split} \begin{eqnarray} P(C=0) &=& P(C=0|B=0) \big( P(B=0|A=0)P(A=0) + P(B=0|A=1)P(A=1) + P(B=0|A=2)P(A=2) \big) + \\ & & P(C=0|B=1) \big( P(B=1|A=0)P(A=0) + P(B=1|A=1)P(A=1) + P(B=1|A=2)P(A=2) \big) + \\ & & P(C=0|B=2) \big( P(B=2|A=0)P(A=0) + P(B=2|A=1)P(A=1) + P(B=2|A=2)P(A=2) \big) \\ &=& P(C=0|B=0) P(B=0) + \\ & & P(C=0|B=1) P(B=1) + \\ & & P(C=0|B=2) P(B=2) \\ \end{eqnarray} \end{split}\]

즉, 확률변수 \(B\)의 분포가 이미 계산된 상태라면 확률변수 \(A\)의 영향은 없어진다.

\[ P(C) = \sum_{B} P(C|B)P(B) \]

이런 식으로 값을 알고 있는 확률변수 혹은 무조건부 확률변수분포를 알고있는 확률변수부터 네트워크를 따라 차례대로 확률분포를 계산하는 방식을 변수제거(variable elimination) 방법이라고 한다.

pgmpy에서는 VariableElimination 클래스를 사용하여 변수제거법을 적용할 수 있다. 생성자 인수로 네트워크 모형을 넣으며 query 메서드를 지원한다.

query(variable_list, evidence)

variable_list는 확률분포를 구하려는 확률변수의 리스트이고 evidence는 알고 있는 확률변수 값의 딕셔너리이다.

아무런 조건이 없을 경우 시험성적의 분포는 다음과 같다. 보통의 성적을 받을 가능성이 가장 높다.

from pgmpy.inference import VariableElimination

infer = VariableElimination(model)
print(infer.query(["C"])["C"])

+-----+----------+
| C   |   phi(C) |
+=====+==========+
| C_0 |   0.2680 |
+-----+----------+
| C_1 |   0.3730 |
+-----+----------+
| C_2 |   0.3590 |
+-----+----------+

이는 A, B의 순서로 marginalize한 것과 같다.

\[ P(C) = \sum_A \sum_B P(A,B,C) = \sum_A \sum_B P(C|B)P(B|A)P(A) \]

P_B = (P_B_I_A * P_A).marginalize(["A"], inplace=False)
P_C = (P_C_I_B * P_B).marginalize(["B"], inplace=False)
print(P_C)

+-----+-------+
| C_0 | 0.268 |
+-----+-------+
| C_1 | 0.373 |
+-----+-------+
| C_2 | 0.359 |
+-----+-------+

만약 건강 상태가 좋았으면 evidence={"A": 2} 인수를 적용한다. 좋은 성적을 받을 가능성이 가장 높다.

print(infer.query(["C"], evidence={"A": 2})["C"])

+-----+----------+
| C   |   phi(C) |
+=====+==========+
| C_0 |   0.2400 |
+-----+----------+
| C_1 |   0.2400 |
+-----+----------+
| C_2 |   0.5200 |
+-----+----------+

이 결과는 \(A=2\)라는 확률분포에서 marginalize한 것과 같다.

P_A2 = TabularCPD('A', 3, [[0, 0, 1]])
P_B = (P_B_I_A * P_A2).marginalize(["A"], inplace=False)
P_C = (P_C_I_B * P_B).marginalize(["B"], inplace=False)
print(P_C)

+-----+------+
| C_0 | 0.24 |
+-----+------+
| C_1 | 0.24 |
+-----+------+
| C_2 | 0.52 |
+-----+------+

시험 성적과 공부 시간을 알고 있다면 다음처럼 건강 상태를 유추할 수도 있다.

print(infer.query(["A"], evidence={"B": 0, "C": 2})["A"])

+-----+----------+
| A   |   phi(A) |
+=====+==========+
| A_0 |   0.2500 |
+-----+----------+
| A_1 |   0.5000 |
+-----+----------+
| A_2 |   0.2500 |
+-----+----------+

B를 알고 있는 경우 A와 C는 서로 독립이다. 즉, 공부시간을 알고 있으으면 시험성적과 관계없이 건강상태를 유추할 수 있다.

print(infer.query(["A"], evidence={"B": 0})["A"])

+-----+----------+
| A   |   phi(A) |
+=====+==========+
| A_0 |   0.2500 |
+-----+----------+
| A_1 |   0.5000 |
+-----+----------+
| A_2 |   0.2500 |
+-----+----------+

이 추론은 조건부확률 \(P(A|B)\)를 구하는 것과 같다.

\[ P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) \]

\(P(B)\)는 동일하므로 무시할 수 있다.

\[ P(A|B) \propto P(B|A)P(A) \]

print(P_B_I_A * P_A)

+-----+----------------------+------+------+
| A   | A_0                  | A_1  | A_2  |
+-----+----------------------+------+------+
| B_0 | 0.06                 | 0.12 | 0.06 |
+-----+----------------------+------+------+
| B_1 | 0.03                 | 0.3  | 0.06 |
+-----+----------------------+------+------+
| B_2 | 0.010000000000000002 | 0.18 | 0.18 |
+-----+----------------------+------+------+

특정한 값에 대한 조건 확률을 구하기 위해 factor로 바꾼 뒤 reduce 메소스들 수행한다.

print((P_B_I_A * P_A).to_factor().reduce([("B", 0)], inplace=False).normalize(inplace=False))

+-----+----------+
| A   |   phi(A) |
+=====+==========+
| A_0 |   0.2500 |
+-----+----------+
| A_1 |   0.5000 |
+-----+----------+
| A_2 |   0.2500 |
+-----+----------+

몬티 홀 문제¶

베이지안 네트워크를 사용하여 몬티 홀 문제를 풀어보자. 0, 1, 2로 표시된 3개의 문 중에서 자동차(car)가 있는 문을 나타내는 확률변수는 C, 참가자(player)가 고른 문은 P, 진행자(host)가 여는 문을 H라고 하자.

자동차가 어떤 문에 있는가와 참가자가 어떤 문을 고르는지는 모두 같은 확률을 가진다.

from pgmpy.factors.discrete import TabularCPD

P_C = TabularCPD('C', 3, [[0.33, 0.33, 0.33]])
print(P_C)

+-----+------+
| C_0 | 0.33 |
+-----+------+
| C_1 | 0.33 |
+-----+------+
| C_2 | 0.33 |
+-----+------+

P_P = TabularCPD('P', 3, [[0.33, 0.33, 0.33]])
print(P_P)

+-----+------+
| P_0 | 0.33 |
+-----+------+
| P_1 | 0.33 |
+-----+------+
| P_2 | 0.33 |
+-----+------+

하지만 진행자가 여는 문은 자동차의 위치와 참가자의 선택에 따라 달라진다. 진행자는 항상 참가자가 고르지 않은 문 중에서 자동차가 없는 문을 연다.

P_H_I_CP = TabularCPD('H', 3, [[0,   0, 0, 0, 0.5, 1, 0, 1, 0.5], 
                               [0.5, 0, 1, 0,   0, 0, 1, 0, 0.5], 
                               [0.5, 1, 0, 1, 0.5, 0, 0, 0, 0  ]],
                      evidence=['C', 'P'], evidence_card=[3, 3])
print(P_H_I_CP)

+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
| C   | C_0 | C_0 | C_0 | C_1 | C_1 | C_1 | C_2 | C_2 | C_2 |
+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
| P   | P_0 | P_1 | P_2 | P_0 | P_1 | P_2 | P_0 | P_1 | P_2 |
+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
| H_0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.5 | 1.0 | 0.0 | 1.0 | 0.5 |
+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
| H_1 | 0.5 | 0.0 | 1.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 1.0 | 0.0 | 0.5 |
+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
| H_2 | 0.5 | 1.0 | 0.0 | 1.0 | 0.5 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 |
+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+

베이지안 네트워크로 확률모형을 만든다. 진행자의 선택 H는 자동차 위치 C와 참가자 선택 P에 모두 영향을 받는 머리-머리 결합이다.

from pgmpy.models import BayesianModel
from IPython.core.display import Image
from networkx.drawing.nx_pydot import to_pydot

model_monty = BayesianModel([('C', 'H'), ('P', 'H')])
model_monty.add_cpds(P_C, P_P, P_H_I_CP)

d = to_pydot(model_monty)
d.set_dpi(300)
d.set_margin(0.2)
Image(d.create_png(), width=400)

변수제거 방법을 사용하여 이 문제를 푼다.

from pgmpy.inference import VariableElimination

infer = VariableElimination(model_monty)

만약 참가자가 0번 문을 선택하면 진행자는 1번 혹은 2번 문을 연다.

posteriors = infer.query(['C', 'H'], evidence={'P': 0})
print(posteriors['H'])

+-----+----------+
| H   |   phi(H) |
+=====+==========+
| H_0 |   0.0000 |
+-----+----------+
| H_1 |   0.5000 |
+-----+----------+
| H_2 |   0.5000 |
+-----+----------+

참가자가 0번 문을 선택하고 진행자가 1번 문을 열면 차가 2번 문에 있을 확률이 0번 문에 있을 확률의 2배이다.

posterior_c = infer.query(['C'], evidence={'P': 0, 'H': 1})
print(posterior_c['C'])

+-----+----------+
| C   |   phi(C) |
+=====+==========+
| C_0 |   0.3333 |
+-----+----------+
| C_1 |   0.0000 |
+-----+----------+
| C_2 |   0.6667 |
+-----+----------+

같은 상황에서 진행자가 2번 문을 열면 차가 1번 문에 있을 확률이 0번 문에 있을 확률의 2배이다. 따라서 참가자는 항상 선택을 바꾸는 것이 좋다.

posterior_c = infer.query(['C'], evidence={'P': 1, 'H': 2})
print(posterior_c['C'])

+-----+----------+
| C   |   phi(C) |
+=====+==========+
| C_0 |   0.6667 |
+-----+----------+
| C_1 |   0.3333 |
+-----+----------+
| C_2 |   0.0000 |
+-----+----------+

신뢰전파¶

신뢰전파(belief propagation) 방법은 메시지 전달(message passin) 방법이라고도 한다. 여기에서는 선형 체인(linear chain) 형태의 마코프 네트워크를 예로 들어 설명하겠지만 일반적인 형태의 네트워크에서도 성립한다.

\(X_1, \ldots, X_N\)의 \(N\)개 확률변수가 선형사슬로 연결된 마코프 네트워크에서 결합확률분포는

\[ p(X_1, \ldots, X_N) = \dfrac{1}{Z}\psi(X_1, X_2) \psi(X_2, X_3) \cdots \psi(X_{N-1}, X_{N}) \]

이다. 사슬 중간에 있는 \(X_n\)의 확률분포를 알아내려면 전체확률의 법칙을 사용하여 \(X_n\)을 제외한 나머지 확률변수들이 가질 수 있는 모든 경우의 확률을 더한다.

\[\begin{split} \begin{eqnarray} p(X_n) &=& \sum_{X_1} \cdots \sum_{X_{n-1}} \sum_{X_{n+1}} \cdots \sum_{X_N} p(X_1, \ldots, X_N) \\ &=& \dfrac{1}{Z} \sum_{X_1} \cdots \sum_{X_{n-1}} \sum_{X_{n+1}} \cdots \sum_{X_N} \psi(X_1, X_2) \psi(X_2, X_3) \cdots \psi(X_{N-1}, X_{N}) \\ \end{eqnarray} \end{split}\]

이 수식을 정리하면 다음처럼 쓸 수 있다.

\[\begin{split} p(X_n) = \dfrac{1}{Z} \\ \underbrace{\left(\sum_{X_{n-1}} \psi(X_{n-1}, X_n) \left( \sum_{X_{n-2}} \psi(X_{n-2}, X_{n-1}) \cdots \left( \sum_{X_1} \psi(X_1, X_2) \right) \right)\right)}_{\mu_{\alpha}(X_n)} \\ \underbrace{\left( \sum_{X_{n+1}} \psi(X_{n}, X_{n+1}) \left( \sum_{X_{n+2}} \psi(X_{n+1}, X_{n+2}) \cdots \left( \sum_{X_N} \psi(X_{N-1}, X_{N}) \right) \right) \right)}_{\mu_{\beta}(X_n)} \\ = \dfrac{1}{Z} \mu_{\alpha}(X_n) \mu_{\beta}(X_n) \end{split}\]

이 식에서 \(\mu_{\alpha}(X_n)\)와 \(\mu_{\beta}(X_n)\)를 \(X_n\)에 도달하는 좌측, 우측 메시지(message) 함수라고 한다.

메시지 함수는 재귀적으로 계산할 수 있다.

\[\begin{split} \begin{eqnarray} \mu_{\alpha}(X_n) &=& \sum_{X_{n-1}} \psi(X_{n-1}, X_n) \left( \sum_{X_{n-2}} \psi(X_{n-2}, X_{n-1}) \cdots \left( \sum_{X_1} \psi(X_1, X_2) \right) \right) \\ &=& \sum_{X_{n-1}} \psi(X_{n-1}, X_n) \mu_{\alpha}(X_{n-1}) \\ \mu_{\alpha}(X_2) &=& \sum_{X_1} \psi(X_1, X_2) \end{eqnarray} \end{split}\]

건강 상태 및 시험 성적과 관련된 예제를 마코프 네트워크로 변형하여 신뢰전파를 적용해보자.

model2 = model.to_markov_model()

d = to_pydot(model2)
d.set_dpi(300)
d.set_margin(0.2)
d.set_rankdir("LR")
Image(d.create_png(), width=400)

pgmpy에서는 BeliefPropagation 클래스를 사용하여 신뢰전파법을 적용할 수 있다. 사용법은 VariableElimination과 같다.

from pgmpy.inference import BeliefPropagation
infer = BeliefPropagation(model)
print(infer.query(["C"])["C"])

+-----+----------+
| C   |   phi(C) |
+=====+==========+
| C_0 |   0.2680 |
+-----+----------+
| C_1 |   0.3730 |
+-----+----------+
| C_2 |   0.3590 |
+-----+----------+

print(infer.query(["C"], evidence={"A": 2})["C"])

+-----+----------+
| C   |   phi(C) |
+=====+==========+
| C_0 |   0.2400 |
+-----+----------+
| C_1 |   0.2400 |
+-----+----------+
| C_2 |   0.5200 |
+-----+----------+

print(infer.query(["A"], evidence={"B": 0, "C": 2})["A"])

+-----+----------+
| A   |   phi(A) |
+=====+==========+
| A_0 |   0.2500 |
+-----+----------+
| A_1 |   0.5000 |
+-----+----------+
| A_2 |   0.2500 |
+-----+----------+

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